Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
1. Доказать сильную лемму о четырех гомоморфизмах (лемма 1.3.2) в абелевой категории.
2. Доказать внутреннюю 3X3 лемму: если в коммутативной 3X3 диаграмме все три столбца и первая и третья строки являются короткими точными последовательностями, а в средней строке произведение двух ненулевых морфизмов равно нулю, то и средняя строка является короткой точной последовательностью (ср. упражнение II.5.2).
Замечание. Неопубликованные идеи Р. Г. Суона дают метод диаграммного поиска, используя морфизмы а : Р А с проективной областью определения вместо элементов объекта А. Этот метод применим к абелевой категории, в которой едва хватает проективных объектов в том смысле, что для каждого ненулевого объекта А существует морфизм а : Р ->-А с проективной областью определения Р и а Ф 0. Пусть Ар обозначает класс всех таких морфизмов а2(включая нуль); каждый морфизм ? : А -+В индуцирует отобра-
30—353
466
Гл. XII. Производные функторы
жение : Ар Вр множеств с отмеченной точкой, определенное 'формулой Ер (а) = ?а : Р -*¦ В. Указанный метод формулируется на языке этих отображений |р и указан в следующих упражнениях 3—9.
3* Эпиморфизм т равен нулю тогда и только тогда, когда его область значений есть 0', н двойственно.
4. Если ух = 0 и уХ = О для мономорфизмов х, J,, то и у (к U Ч = О-
В остальных упражнениях используются упражнения 3 н 4 н диаграммный поиск в абелевой категории М, в которой, как отмечалось, едва хватает проективных объектов.
5. Доказать: i : А В — эпиморфизм тогда и только тогда, когда iр (-Лр) “ Вр.
6. Доказать, что ? : А -*¦ В — мономорфизм тогда и только тогда, когда Kernel ?р ='0.
7. Если t)i = 0, то кег т) = im ? тогда и только тогда, когда Kernel т|р = = Image ip.
8. Используя утверждения 5—7, доказать слабую лемму о четырех гомоморфизмах.
9. Теми же методами Доказать 3X3 лемму.
§ 4. Собственные точные последовательности
В некоторых случаях мы имеем дело со специальным классом точных последовательностей в абелевой категории и с соответствующим функтором Ext; например, в категории модулей над К-алгеброй А функтор Ext(A, ю использует те точные последовательности A-модулей, которые расщепляются как последовательности К-модулей.
Другой пример возникает в категории абелевых групп. Говорят, что абелева группы А является сервантной подгруппой абелевой группы В, если из а — mb для некоторого целого числа т следует а = та' для некоторого элемента а' ? А, т. е. тА = = тВ п А. Эквивалентно, подгруппа А сервантна в В в том и только в том случае, когда каждый элемент с конечного порядка из факторгруппы С = В/А имеет представитель в В того же самого порядка. Через Ext/ (С, А) мы обозначим множество (классов конгруэнтности) сервантных расширений А с помощью С. Топологические применения функтора Extf появились у Эйленберга и Маклейна [1942], алгебраические применения — у Хар-. рисона [19591, Нунке [1959], Фукса [19583 и Маклейна [I960]. Тот факт, что Ext/ есть бифунктор в категорию абелевых групп, входящий в определенные точные последовательности, будет вытекать из нашей последующей теории.
Пусть S* обозначает некоторый класс коротких точных последовательностей в абелевой категории fr; запись иеРсг означает, что (и, ст) — короткая точная последовательность, принадлежа»
§ 4. Собственные точные последовательности
467
щая х в еРт означает, что х?Рсх для некоторого а и а 6 сРе означает, что кФа для некоторого х. Назовем оГ собственным классом (и любой из его элементов — собственной короткой точной последовательностью), если он удовлетворяет следующим самодвойственным аксиомам:
(Р-1) если хсРа, то любая изоморфная короткая точная последовательность принадлежит оР;
(Р-2) для любых объектов А и С последовательность А >-» А © С С собственная;
(Р-3) если произведение хА определено и А ? ®т,
то хА ? аРт;
(Р-3') если произведение от определено и а ? &е, т в &е> то ох ? &е;
(Р-4) если х и Я — мономорфизмы и хА ? &т, то А 6 &т',
(Р-4') если а и т — эпиморфизмы и от ? Фе, то а ? Фе-
Эти аксиомы выполняются во всех приведенных выше примерах. Они выполняются также, если 3 — класс всех О-расщепляю-щихся коротких точных последовательностей относительной абелевой категории ? : Л -*-<М или если — класс всех коротких точных последовательностей данной абелевой категории.
Отметим некоторые элементарные следствия. Из первых двух аксиом следует, что & — допустимый класс в смысле IX.4, так что & определяется классом &т. или классом &е. Точно так же любой морфизм, эквивалентный справа или слева с собственным мономорфизмом х, является собственным; если х имеет объект А областью значений, то els х состоит из собственных мономорфизм мов и называется собственным подобъектом объекта А.
По (Р-2), 0' 0' © А -» А есть собственная короткая точ-
ная последовательность, и двойственно; следовательно, 1А к 0:0' -у А суть собственные мономорфизмы, 1А и 0 : А -»-0' — собственные эпиморфизмы. Морфизм а : А -+• В называется собственным, если ker а и coker а собственны; как и в предложении IX ,4.1, это условие эквивалентно условию, что im а и coim а собственны. Для любой эквивалентности 0, ker 0 и coker 0 собственны, поэтому 0 — собственный морфизм и принадлежит одновременно &т И |SV
