Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Соответствия А -+-А,, i -> L порождают «представление» каждой абелевой категории частично упорядоченными множествами с нулем. Мы можем также рассматривать As как «множество с отмеченной точкой». Под множеством U с отмеченной точкой понимается множество с выделенным элементом, скажем 0^ 6 U. Отображение / : U -> V множеств с отмеченной точкой — это функция, определенная на множестве U со значениями в множестве V, для которой /0и = (V; в частности, f = 0 означает, что fu = 0v для каждого иви. Множества с отмеченной точкой вместе со всеми описанными отображениями f в качестве морфизмов образуют категорию, в которой мы можем определить многие известные понятия следующим образом. Для каждого отображения /: U V:
Kernel f = {все u\u?U, fu — 0v},
Image/ = {все v\fu = v для некоторого и dU}, f сюръективно тогда и только тогда, когда Image / = V,
/ инъективно тогда и только тогда, когда из ful = fu2 следует
и1 = иг.
Если (/, g) : U -> V -+W, то назовем пару (/, g) точной, если Image / = Kernel g. Как и в абелевой категории, пара (/, g) точна тогда и только тогда, когда gf = 0 и Kernel g с Image /, где с обозначает теоретико-множественное включение.
460
Гл. XII. Производные функторы
Основные свойства представления в виде частично упорядоченных множеств подобъектов можно сформулировать следующим образом.
Теорема 2.2. Если А -*¦ В — морфизм абелевой категории, то I, : At -*¦ В, — отображение частично упорядоченных множеств с нулем, т. е. |80А = 0в и из а<а' в At следует ?sa< Оно Обладает следующими свойствами:
(i) 1 = 0<=>?в = 0;
(ii) | — эпиморфизм <=> отображение §* сюръективно;
(iii) ? — мономорфизм <=> отображение инъективно <=> <=> Kernel = 0.
Если произведение определено, то (nt)* = т],!, и (iu) пара (|, "п) точна <=> пара (?s> ti8) точна.
Доказательство. Если im ai < im a2 в A то по предположению 2.1 сца = а2и для некоторого морфизма со и некоторого эпиморфизма а, поэтому Icifi — ?а2ш и im (?а,)<лт (?а2). Значит отображение ?s сохраняет частичную упорядоченность. Свойство (i) очевидно.
Если Ъ, — эпиморфизм и если im р 6 В„ то коуниверсальный квадрат для ? и р дает такой эпиморфизм |' и такой морфизм р', что ?Р' = Р?\ откуда im р' = im р и отображение ?* сюръективно. Обратно, если отображение ?, сюръективно, то существует такой морфизм а с областью значений А, что im (?a) = im 1 в, так что iaoi = сг2 для некоторых эпиморфизмов а± и о2, откуда вытекает эпиморфность 1.
Если ? — мономорфизм, из равенства lB im а = |g im o' следует ?aa = |a'o', следовательно, ао = aV и im a = im a', так что отображение ?* инъективно. Если |s инъективно, то Kernel ?s, очевидно, равно нулю. Наконец, если Kernel = 0, то из ?а = 0 следует im (?а) = (im а) = 0, значит, im a = 0 и a = 0, поэтому ? — мономорфизм. Этим доказано свойство (iii).
Для морфизма т] : В —> С определение ker т| 6 Ва показывает, что
Kernel rig = {b jb?Be и 6<kerri}; (2.1)
другими словами, kerri — это максимальный элемент подмножества Kernel tis; мы пишем «кег» для морфизма абелевой категории, «Кег»— для модульных гомоморфизмов и «Kernel»— для множеств с отмеченной точкой. Аналогично для | : А В
Image = {b \ b ? Ba и 6<img}. (2.2)
Действительно, если А есть область значений морфизма а, то ?* im а = im (?а) С im ?; обратно, из im р < im \ следует, что Рс = |а для некоторого эпиморфизма о и некоторого а с областью значений А, поэтому im а = im (?а) = im р. Этим доказано (2.2).
§ 2. Подобъекты и факторобъекты
461
Если произведение т]? определено, то равенство (п?)4 = вытекает из определения, а (2.1) и (2.2) доказывают свойство (iv) из теоремы.
Факторобъекты двойственны подобъектам. Подробнее, пусть Вя означает множество всех факторобъектов объекта В, т. е. множество всех классов левой эквивалентности эпиморфизмов а с областью определения В. Множество Bq частично упорядочено с нулем; нулем является класс 0: В -*¦ 0'; включение cls о > cls т по определению означает, что т = Ра для некоторого морфизма р, необходимо являющегося эпиморфизмом. Для модулей это включение имеет естественно ожидаемый смысл: если а : A -+-A/S, т : А -> A IT, то cls а > cls т означает Sc Г и, следовательно, A/T^(AIS)/(T/S).
Каждый морфизм ? : А -*• В индуцирует отображение ?« : Bq -+А9 (в обратном направлении!) по формуле ?9 (cls а) = = coim (а1). В силу принципа двойственности нам нет необходимости доказывать теорему, двойственную теореме 2.2. Напомним, что двойственная теорема формулируется путем обращения всех стрелок и сохранения логической структуры теоремы. Таким образом, «область определения» становится «областью значений», а отображение становится отображением ?9. Теоретико-множественные понятия составляют часть логической структуры теоремы, поэтому фраза «отображение ?, инъективно» переходит в фразу «отображение ^ инъективно».
Теорема 2.3. Если | : А -*• В — морфизм абелевой категории, то ?9 : В4 -»• Aq — отображение частично упорядоченных множеств с нулем. Оно, обладает следующими свойствами:
