Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1.2. Если, в коуниверсальном квадрате, Р — мономорфизм, то и Р' — мономорфизм, если р — эпиморфизм, то и Р — эпиморфизм; по симметрии эти же утверждения справедливы для а.
В доказательстве используется прямая сумма А © В с проекциями и вложениями i/. Сначала будем считать, что р — мономорфизм. Предположим, что Р'ю = 0 для некоторого ©. Тогда Prt2v<o = Ра'ю =аР'со = 0; так как Р — мономорфизм, то rt2v© = 0. Вместе с тем jtiVG> = P'G> = 0, так что vco = 0 и ш = 0, поскольку v — мономорфизм.. Следовательно, на р' можно сокращать слева, т. е. Р'—мономорфизм.
Теперь будем считать Р эпиморфизмом. Предположим, что ю (ait! — ряг) = 0 для некоторого ©. Тогда 0 = <о (ajti — Ряг) = = — <t)pit2i2 — — ©Pi так что со = 0. Следовательно, ал± — Ря2 есть эпиморфизм, и, значит, он является коядром своего ядра v. Теперь допустим, что ?Р' = 0 для некоторого |. Тогда 0 = §Р' = = |rtiV, поэтому |я! проходит через ant — ря2 в coker v, = = I' (art! — Prt2). Следовательно, 0 = Irtji^ = —g'prt2i2 = — |'p, откуда ?' = 0, так как p — эпиморфизм; значит, |rti = 0, ? = О и P' — эпиморфизм.
При дуализации (обращение стрелок, перестановка слов, «мономорфизм» и «эпиморфизм» и т. д.) аксиомы абелевой категории переходят в себя. Двойственное построение квадрату исходит из двух морфизмов а и р с общим началом и дает универсальный левый квадрат (или диаграмму «выдвижения»):
сДА С Л А
1» | I
В -> D, В _> D".
Здесь универсальность означает, что для любого другого подобного коммутативного квадрата с правым нижним углом D* существует
единственный морфизм у : D -+-D” со свойствами.... Например,
в категории групп (не являющейся абелевой категорией), если a и Р — мономорфизмы, то такой универсальный квадрат существует и в качестве D нужно взять свободное произведение групп А и В с объединенной подгруппой С (Нейман [19541, Шпехт [1956]).
458
Гл. XII. Производные функторы
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если произведение тст определено и т и ст—эпиморфизмы, то т ? сокег [ст (кег га)].
2. Если х н ст имеют общий конец, х — мономорфизм, ст — эпиморфизм,
то доказать, что морфизмы х' н ст' из коуниверсального квадрата определяются точными формулами х' ? кег р, ст' б coim (ax'), где р = (сокег х) ст
(использовать упражнение 1).
3. Если р (кег а) = 0 н р — эпиморфизм, то показать, что существуют такие мономорфизм ц и эпиморфизм ст, что цр = ста.
4. Пусть в коммутативной диаграмме
t Т1
4 I i
v Р
оба квадрата коуниверсальны. Показать, что квадрат с верхним и нижним основаниями и Py коуниверсален.
5. Построить коуниверсальную диаграмму для п морфизмов с общим концом.
§ 2. Подобъекты и факторобъекты
Подобъект объекта А определяется мономорфизмом х : * А и является классом правой эквивалентности (все морфизмы х0 | 0 — эквивалентность) этого морфизма х. Класс As всех подобъектов объекта А можно рассматривать как множество (аксиома в конце IX.1).
Обычное отношение включения для подмодулей согласуется с определением, что clsxj <. clsx2 тогда и только тогда, когда существует такой морфизм со, что Xj = х2со; этот морфизм со необходимо является мономорфизмом. Множество As частично упорядочено этим отношением < и имеет нуль 0А : 0А < els к для каждого х; именно, 0А — это класс любого нулевого морфизма 0:0'-»--*-А, где 0' — произвольный нулевой объект категории.
В абелевой категории каждый морфизм а с областью значений А имеет стандартное разложение a = Ясг (Я — мономорфизм, о — эпиморфизм) и im a = els As. Таким образом, мы можем описать As как множество всех образов морфизмов а с областью значений Л; тогда отношения включения и равенства определяются следующим предложением.
Предложение 2.1. В абелевой категории для морфизмов аь а2 с общей областью значений А имеют место следующие утверж-
§ 2. Подобъекты и факторобъекты
459
дения (знак «<=>» означает тогда и только тогда, когда»): im щ = im а2 <=> atст, = аго2 для некоторых эпиморфизмов аи сх2; im а] im а2 <=> оцсг = а2со для некоторого эпиморфизма а
и некоторого со;
im а = Оа <=> а = 0.
Доказательство. Из стандартного разложения морфизма ctjCTi = ags2 следует im a4 = im с^ог, = im a2. Обратно, если для at и a2 образом является els х, то эти морфизмы имеют стандартные разложения а4 = хрь а2 = хр2, где и рг — эпиморфизмы. Построение квадрата для pt и р2 дает по теореме 1.2 эпиморфизмы cii, о2, для которых piOi = р2ст2 и, следовательно, = = a2a2. Доказательство остальных утверждений аналогично.
Элемент из As будет записываться как а 6 As или как im a для некоторого а с областью значений А; как будет удобнее.
Каждый морфизм | : А В задает отображение : As Bs, определяемое формулой
?s(im a) = im(?a), область определения а —А.
