Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(i) fl, о : Ер, о -и*- Ер2 о — изоморфизм для всех р> 0;
(ii) /о,в : Eo,q -*-Eo,q — изоморфизм для всех q>0;
(iii) fp,q : Ep>q E^q — изоморфизм для всех р, q.
Имея в виду геометрические приложения, можно прочитать (i) как «/ — изоморфизм на базе», (ii) как «/ — изоморфизм на слое» и (iii) как «/ — изоморфизм на всем пространстве».
Доказательство. То, что из первых двух условий вытекает третье, элементарно. По условию диаграмма
0 —* Ер, о ® El,q—* Ер, q Тог, (Ep—i, о, E\,q) —» 0
т , Л J /,,о»
V У
0 —Ер, о ® Eo,q—> Ер, q —> Tor, (Ep-i, 0, Во%) —=*¦ 0
коммутативна и имеет точные строки. Из условий (i) и (ii) следует, что крайние вертикальные отображения являются изоморфизмами. По короткой лемме о пяти гомоморфизмах среднее вертикальное отображение fl,q является изоморфизмом. Этот изоморфизм комплексов (В2, d2) и (?'2,сГ2) влечет за собой изоморфизм их гомологий Е3 и Е'3, далее по индукции устанавливается (iii), поскольку каждый модуль Ер,д постоянен, за исключением конечного числа номеров.
В других случаях, требующих доказательства, используется то обстоятельство, что спектральную последовательность можно рассматривать как согласованный набор точных последовательностей в биградуированных модулях
Er, Cr = kerdr, Вг = imdr и Gr = ?7Br.
29*
452
Гл. XI. Спектральные последовательности
При применении леммы о пяти гомоморфизмах (в ее уточненной форме, лемма 1.3.3) мы будем записывать только первую строку коммутативной диаграммы, подобной диаграмме (11.2).'
Для доказательства того, что из (i) и (iii) следует (ii), рассмотрим свойство
(ifo») /о, q'.Eo.q—*-Eo,q является изоморфизмом ДЛЯ 0
Поскольку Ео, о = Е0°0> то из (iii) следует (ii0). Следовательно, достаточно доказать индукцией по т, что из (i), (iii) и (iim) следует (iim+1). Если выполнено (iim), то диаграмма (11.2) показывает, что q — изоморфизм при ^</и. Дополнительной индукцией по г>2 доказываем, что
( мономорфизмом для <7< т и всех р, fр,а является] . ^ , п (11-3)
lv,v I изоморфизмом для q*Cm — r + 2 и всех p. v '
Это утверждение верно при г = 2; предположим, что оно верно для некоторого г. Лемма о пяти гомоморфизмах для коммутативной диаграммы точной последовательности
О —> Ср, д, Ер, q—> Ёр-Т, g+r-l.
которая определяет ядро Сг дифференциала dr, показывает для отображения ст, индуцированного fT, что
[мономорфизмом для а</л, cP,g'Cp,q~>Cp,q является { (11.4)
Р’ 9 Р’9 Р’4 { изоморфизмом ДЛЯ <7< /п— г+1. '
Далее, dr определяет эпиморфизм Erp+r,q-r+i Brp,q. Если <7<m, то /р+г,9_г+! — эпиморфизм, а поэтому отображение Ъ, индуцированное /, есть эпиморфизм:
brp,g : ВТр'д-^-Врг я есть эпиморфизм при <7</л. (11.5)
Теперь Ет+1 определяется короткой точной последовательностью
О —» ^р, 9 —> CJ,, g —» ?p|g —> 0. (11.6)
Построим соответствующую диаграмму из двух строчек. При q^Cm первое вертикальное отображение есть эпиморфизм в силу (11.5), а второе — мономорфизм в силу (11.4); следовательно, по лемме о пяти гомоморфизмах третье вертикальное отображение fpfg явля-является мономорфизмом. Если, кроме того, <7<т — (г + 1) + + 2 = m — г + 1, то второе вертикальное отображение является изоморфизмом в силу (11.4), и поэтому fpZq является изоморфизмом. Этим закончено индуктивное доказательство утверждения (11.3).
§ И. Теорема сравнения
453
Теперь мы утверждаем, что
^р,то—р+2 эпиморфизм при г>р>2. (11.7)
Для r>p,dT :ЕГР -+ЕГР_Т имеет нулевой образ, так что = = Ср, /р = Ср. При больших г, /р,ч = q, так что Ср,д из (11.7) есть изоморфизм по условию (iii). Мы можем теперь доказать (11.7), уменьшая г. Предположим, что (11.7) верно для r+ 1, и возьмем диаграмму последовательности (11.6) при q = т — р + 2. Первое вертикальное отображение эпиморфно по (11.5); поскольку Е^д = = Ср^д, третье отображение эпиморфно по предположению. Значит, в силу короткой леммы о пяти гомоморфизмах Cp,q — эпиморфизм, что и доказывает (11.7).
Наконец, мы доказываем уменьшением г, что fo,m+i — изоморфизм для г >2. Это верно для больших г в силу (iii); предположим, что утверждение верно для г + 1, и рассмотрим диаграмму из двух строк с первой строкой
О —> €r, m-r+2 —* Ег, то-г+2 ~> Ео, то+1 —> Е$~т+1 0.
Первое вертикальное отображение — это эпиморфизм в силу (11.7) при г — р, второе — это изоморфизм в силу (11.3) и четвертое — это изоморфизм по предположению. Значит, третье отображение /о, rn+i — изоморфизм. При г = 2 этим заканчивается индукция по т в доказательстве утверждения (пто).
Доказательство того, что из (И) и (iii) следует (i), проводится аналогично.
Замечания. Спектральные последовательности были открыты Лерэ [1946, 1950] для случая когомологии; нх существенные черты были независимо отмечены Линдоном [1946, 1948] в случае спектральной последовательности для когомологии группы. Алгебраические свойства спектральных последовательностей были эффективным образом собраны Косулем [1947]. Их полезность в вычислениях групп гомотопий сфер была убедительно продемонстрирована Серром [1951]. Эквивалентное определение при помощи точных пар принадлежит Масси [1952[; еще одно определение дано Картаном и Зйленбергом [1956], XV.7. Теорема Лерэ — Серра была доказана методом ацикличных моделей (Гугенгейм —Мур [1957J); другие доказательства см. у Ху Сы-Цзяна [1959, гл. IX], у Хилтоиа — Уайли [1960, гл. X] и, при несколько отличном понятии расслоенного пространства, у Фа-делла и Гуревича [1958]. Спектральная последовательность Линдона впервые была определена с помощью фильтрации комплекса Нот (В (П), А)\ эта последовательность удовлетворяет теореме 10.1, но до настоящего времени не известно, изоморфна ли она определенной нами последовательности, в которой использована фильтрация, принадлежащая Хохшильду и Серру [1953]. Этими авторами краевые эффекты были описаны (предложение 10.2) лишь для фильтрации Линдона; наше доказательство, исходящее прямо из фильтрации Хохшильда — Серра, зависит от нашего описания связывающих отношений, которое было приведено для этой цели. Спектральная
