Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Т (В, С) —Л Т(В, С').
Тогда диагональное отображение
Т (Р, Y) = Т (В, у) Т (Р, 0 = Т (р, С) Т (В', у)
этой диаграммы превращает Т в бифунктор, определенный на 38 и % со значениями в 3, контравариантный в 38 и ковариантный в %. Каждый такой функтор может быть получен указанным образом.
Если вместо Т (р, С) и Т (В, у) для простоты писать р* и у*, то условие коммутативности диаграммы (8.10) можно записать менее аккуратно, но более наглядно в виде равенства р*у* = у*Р*. Сформулированное предложение обычно позволяет наиболее просто убедиться в том, что данное Т действительно бифунктор. Типичным примером бифунктора подобного типа является функтор Ношд (А, В), ковариантный по В и контравариантный по А.
Если S и Т — два таких функтора, определенных на 38 X # со значениями в f, то естественным преобразованием f : S-+- Т называется функция, которая сопоставляет каждой паре объектов В, С такой морфизм / (В, С) '¦ S (В, С) -*¦ Т (В, С), что для каждой пары морфизмов Р:В->-,8'иу:С^>-С' имеет место коммутативная диаграмма
C)^T(fl', С)
so.v4 !to,y) (8.11)
S(B, С')—СЛт(В, С').
Принимая во внимание указанное выше разложение дляЧГ (р, у), достаточно потребовать выполнения этого условия только для р и 1с и для 1В и у. Другими словами, достаточно потребовать, чтобы функция / (В, С) при фиксированном одном аргументе была естественным преобразованием по оставшемуся аргументу.
Прямые произведения дают пример бифунктора, ковариантного по двум аргументам. Пусть % — категория, в которой для каждой пары объектов существует диаграмма прямого произведения, и пусть для каждой пары объектов выбрана такая диаграмма вида
4-353
50
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
{яг : Ai х Л2->- Ai [ i= 1, 2}; предположение включает выбор прямого произведения А± х А2 для каждой пары Ai и А2. Пусть аг : Л; -*¦ А'и i = 1, 2, — морфизмы из %, указанные в диаграмме .
Тогда ajjti : Ai хА2-*-А1; ввиду свойства коуниверсальности нижней строки существует такой единственный морфизм р: Л i х Л 2-> -> А[ х А'2,- что я$ — atnif т. е. существует единственный морфизм р, превращающий эту диаграмму в коммутативную. Например, если *8 — категория множеств или /^-модулей и если произведение Ai х Аг выбрано обычным способом как множество всех пар (аи а2), то Р (аи а2) = (ajOi, а2а2). Назовем морфизм р = at х X а2 прямым произведением данных морфизмов. Ввиду свойства коуниверсальности 1x1 = 1 и (Y1XV2) (ai X a2) = Vi«i X X Y2G&2 всякий раз, как определены произведения у;аг, t = 1, 2. Следовательно, функции Р {Alt Л2) = Лt х Аг, Р (аь а2) = ad х X а2 определяют ковариантный бифунктор Р из %, % в %.
Для трех объектов Аи Л2, А3 обычное отображение (Лi х X А г) х Л3-> Л1 х (Л2 X Л3) является естественным гомоморфизмом ковариантных трифункторов.
Понятия категории и функтора обеспечивают не глубокие теоремы, а удобный способ выражения. Например, рассмотрим понятие диаграмм «одного и того же вида», скажем, диаграмм модулей вида D : А -*• В С. Каждая такая диаграмма может рассматриваться как функтор. Действительно, введем в рассмотрение конечную категорию SB, имеющую три объекта а, Ь, с, соответствующие тождественные морфизмы и морфизмы х0 : a-> b, Х0 : b с и fi0 : а-*- с, причем Я0х0 = |х0- Тогда любая диаграмма модулей указанного вида есть ковариантный функтор из $в в категорию RsM модулей: такой ковариантный функтор D определяет три модуля D (а) = А, D (Ь) = В, D (с) = С — и три гомоморфизма D (х0), D (Я,0), D (ц0) = D (Я0) D (х0). Отображение диаграммы/) в другую диаграмму D’ того же вида есть в точности естественное преобразование D ->?>' ''функторов. В эту формулировку мы можем включить также понятия диаграмм с условиями коммутативности. Так, коммутативная квадратная диаграмма есть функтор из конечной категории
(8.12)
(8.13)
§ 8. Функторы
51
Частично упорядоченным множеством S называется множество с бинарным отношением r<s, рефлексивным (г С г), транзитивным (из г<s и следует г</) и антисимметричным (из
и5<г следует г = s). Частично упорядоченное множество S имеет нуль, если существует такой элемент 0 6 *5, необходимо единственный, что 0<s для каждого s. Элемент и 6 S называется наименьшей верхней гранью (н. в. г.) (или объединением) элементов s, t(zS, если s<u, и если из s<y, следует, что
ы<у. Н. в. г. единственна, если она существует, и обозначается и = s У /. Аналогично элемент w = s f| t называется н. н. г. (наибольшей нижней гранью или пересечением) s и t, если ^<s, и если из x<s, x*Ct следует x*Cw. Частично упорядоченное множество 5 называется структурой, если s U t и s П t существуют для всех элементов s и /.
Каждое частично упорядоченное множество S можно рассматривать как категорию У, объектами которой являются элементы s 6 S, морфизмами — пары (s, г) : г s при r<s и с умножением морфизмов, определенным равенством (t, s) (s, г) = (t, г), если r<s< t. Например, конечная категория (8.13) возникает указанным способом из частично упорядоченного множества, имеющего четыре элемента а, Ь, с, d, с частичным порядком a^Cb^Cd, a*Cc4Z.d. Если S является структурой, то любые два элемента s, t из имеют прямую сумму (равную s U t) и прямое произведение s П обратно, если of имеет прямые суммы и прямые произведения, то S является структурой.
