Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(xh — h — bkx)(x0, ..., хп) = bg (ах, 1, ах0, ...,ахп) = 0.
Значит, xh — h есть кограница kx, так что когомологический класс коцепи h в S' инвариантен относительно х, что и утверждалось.
Ввиду лемм 9.1 и 9.2 мы можем переписать сужение и связь как
res : Нп (П., А) —> Нп (Г, А)п и р : Нп (Г, А)п —Нп+1 (П/Г, А).
Два менее значительных замечания будут необходимы в следующем параграфе. Для модулей (п/г)С, пВ и пА существует естественный изоморфизм
НошП/г (С, Ношг (В, Л)) ^ Ношп (С ® В, А), (9.9)
где Ношг имеет операторы, описанные в (9.8), и Ѯ имеет «диагональные» операторы х (с ® b) = (хс ® xb). Отображение в (9.9) задается сопряженной ассоциативностью. Для проверки того, что оно корректно относительно указанных операторов, рассмотрим произвольный групповой гомоморфизм / : С ® В ->А. Он принадлежит правой группе Ношп, если
f (хс <g) xb) = xf (с ® b), с?С, Ь?В, х?П. (9.10)
При фиксированном с, / (с ® —) лежит в Ношг слева, если
¦f(c®tb)=tf(c®b), t?Y, (9.11)
а условие, что / порождает отображение из НотП/г, таково:
f(xc®b') = xf(c®x-4'), Ь'^В. (9.12)
Теперь (9.12) превращается в (9.10), если b' = xb, а (9.10) при х =
— t ? Г дает tc = с, откуда следует (9.11). Таким образом, условия, накладываемые на / слева и справа, эквивалентны.
Лемма 9.3. Для любого свободного П-модуля F и любого П-жо-модуля А
#П(П/Г, Homr(F, А)) = 0, л>0.
Доказательство. (См. упражнение 6.) Достаточно в качестве F взять свободный П-модуль Z (П) с одним образующим. Рассматриваемая когомология — это когомология комплекса
Ношп/r (В (П/Г), Homr (Z (П), А)) о* Homtx (В (П/Г) ® Z (П), А).
§ 10. Спектральная последовательность Линдона 445
Значения n-мерного коцикла f этого комплекса f((u0, . . ., un) ® *) лежат в А, где ? П/Г. Используя проекцию о : П ->-П/Г, определим (п — 1)-мерную коцепь h формулой h((u0, . . ., Un_i) ®а:) = = / ((ы0, . . ., Un_i, о*) ® х). Тогда h будет П-гомоморфиз-мом, а условие 6f ((и0, . . , ип, ох) ® д:) = 0, будучи расписанным, показывает, что / = бh. Поэтому каждый коцикл положительной размерности п есть кограница, что и требовалось доказать.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, как гомоморфизм сужения можно вычислить с помощью любой свободной П-модульной резольвенты Z.
2. Если П = ГХД, то отождествить П/А с Г и показать, что inf^j/Ares Р = 0.
3. Для замены групп р = (S. а) : (Г, Л, q>)(Г', Л', q>') показать, что гомоморфизм р* : Нп (Г', А') -*¦ Нп (Г, А) из (IV.5.9) может быть вычислен с помощью свободных резольвент е: X -*¦ Z и е' : X’ -*¦ Z группы Z как тривиального Г- или Г'-модуля соответственно, как произведение
р*=/*а* : Нп (Homr, (X’, А’)) -» Нп (Нотг (X', А)) -> Нп (Нотг {X, А)), где /: X X’ есть Г-модульное цепное преобразование, накрывающее lg.
4. Для нормального делителя Г группы П каждый П-модуль А является Г-модулем относительно индуцированного отображения <р' : Г -> Aut А. Для каждого х ? П показать, что определения t,xt = x-xtx, t 6 Г и аха ~ = ха порождают замену групп
Р*=(5*. «*) = (Г, А, ф') —> (Г, А, ф').
причем рХу = РуРх• Для Г-модульной резольвенты X -*¦ Z и преобразования f из упражнения 3 показать, что а*/* : Homr (X, А) -*¦ Homr (X, Л) — это модульное действие элементов х на Нотг, определенное в тексте.
5. Используя упражнения 3 и 4, доказать, что модульное действие х ? П на Нп (Г, А) задается на (неоднородном) коцикле h 6 Horn (Вп (Г), Л) сопоставлением cls A-*- cls А', где А' определяется с помощью сопряжения:
h' (<!, ..., tn) =xf (x-ityx, ..., х~Чпх), ti € Г, х 6 П.
6. Используя (9.9), показать, что если модуль -дF свободен, то модуль Homr (F, А) относительно инъективен для пары колец Z (П/Г), Z. Отсюда вывести второе доказательство леммы 9.3.
§ 10. Спектральная последовательность Линдона
Теорема 10.1. Для нормального делителя Г группы П и для П -модуля А существует спектральная последовательность третьей четверти {Er, dr), естественная относительно А с естественными изоморфизмами
El’9 &? Нр (П/Г, т (Г, А)) =# Нр+ч (П, А),
р
сходящимися, как показано, к когомологии группы П.
446
Г л. XI. Спектральные последовательности
Здесь Я9 (Г, А) есть (П/Г)-модуль с операторами, описанными в § 9. Таким образом, эта спектральная последовательность связывает когомологии подгруппы Г и факторгруппы П/Г с когомологией всей группы П.
Доказательство. Используя В-резольвенту, построим бикомплекс К'-
Кр’9 = Нотп/г (Вр (П/Г), Нотг (В, (П), А)) s* as Нотп (Вр (П/Г) ® В9 (П), А),
как в (9.9), с двумя дифференциалами, задаваемыми, с учетом стандартных знаков для кограницы и дифференциала в Вр 0 В,, формулами
(б7)(ь'®ь") = (-1Г9«/(ай'®б"). ь'еВр-н, ь”?Вя,
= b'?Bp, b”?Bq+1>
где / 6 Kp,q. Условие 6'6" + 6"6' = 0 легко проверяется. Первая и вторая фильтрации этого бикомплекса порождают соответствующие спектральные последовательности Е’ и Е", сходящиеся к Я (Tot К).
