Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Каждая фильтрация F Z-градуированного дифференциального модуля А определяет следующим образом точную пару. Короткая точная' последовательность комплексов Fp_t >-» FPA -» FpA/Fp_iA
Гл. XI. Спектральные последовательности
порождает обычную точную гомологическую последовательность ------------->Нп (/?„_iA) Л Нп (FpA) Л Нп (FpA/Fp-iA) Л
Ляпм^р-И)-^ •••.
где отображение i индуцировано вложением, отображение / — проекцией, a k — гомологический связывающий гомоморфизм. Комбинирование этих последовательностей, для всех р дает точную пару
Dp,q — Hp+q (FpA), Fp, q — Hp+q (FpA/Fp-iA), (5.6)
причем степени отображений t, /, k такие же, как в (5.5). Назовем эту пару точной парой фильтрации F.
Теорема 5.4. Спектральная последовательность фильтрации F изоморфна спектральной последовательности точной пары фильтрации F.
Доказательство. Спектральная последовательность точг ной пары (5.6) фильтрации F имеет вид
ЕТ = kr1 (Im Г-1)// (Кег ir_1), i: Я (FP^A) -> Я (FpA).
Рассмотрим Ер = Ер = Н (Fp/Fp_i) и, следовательно, все Ер как подфактормодули Fp/Fp_t. Рассмотрим k-1 (Im С-1). Каждый гомологический класс модуля Ер представляется «относительным циклом» с 6 Fp с дс ? Fp-у; при этом элемент k (els с) = els (дс) ? ?H(Fp_i) лежит в С-^Н (Fp-r) а Н (Fp-у), если дс — а + дЪ для некоторого Ь 6 Fp-i и некоторого а ? Fp-T. Тогда с — Ъ лежит в модуле Zp из (3.5) и с = (с — Ь) + Ь 6 Zp и Fp_iA, т. е. с принадлежит верхнему члену формулы (3.8).
С другой стороны, ннжний член выражения для Ет определен как /(Kerf-1). Ядро Г-1: Н (FPA) -у Н (Fp+r_lA) состоит из гомологических классов таких циклов c?FpA, что с — дЪ для некоторого b?Fp+r_iA и, следовательно, для 6 f 4+'_t* Тогда / (else) = els (db) и дЬ G dZp+r-i u Fp_\. Последнее выражение есть нижний член формулы (3.8). Суммируя все сказанное, мы видим, что Ер задается формулой (3.8), использованной для непосредственного определения спектральной последовательности фильтрации. В обоих случаях гомоморфизм dT индуцирован дифференциалом д:А-+А.
Следствие 5.5. В спектральной последовательности FDG-модуля первый дифференциал d1 можно описать в терминах отображений juk точной гомологической последовательности для FPA IFp~iA как произведение d1 = jk:
Ер, я ~ Нр+я (FрА!Fр—\А) —> Яp+g—I (Fр-iA/Fр_2^4) = ?p_i, q.
§ 5. Точные пары
431
Заметим, что последовательность производных пар содержит больше информации, чем одна спектральная последовательность, поскольку в нее входят не только модули Е7, но и модули DT и отображения iT, jT, kT, которые определяют последовательные дифференциалы dT.
Для появления точной пары фильтрация вовсе необязательна. Примером является точная пара Бокштейна (Браудер [1961]; см. также упражнение 11.4.2) для комплекса К абелевых групп без кручения. Пусть I — простое число, Zt—факторгруппа группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных I, и пусть Z >-» Z -э> Zt есть соответствующая точная последовательность абелевых групп. Поскольку каждая группа Кп без кручения, К ^ К -» К <8> Zt есть короткая точная последовательность комплексов. Обычная точная гомологическая последовательность является точной парой
Н(К)------->Я(К)
V /
Н (К ® Zi)
Z-градуированных (но не биградуированных) абелевых групп.
Другой пример дают тензорные произведения. Тензорное умножение, примененное к длинной точной последовательности, порождает точную пару и, значит, спектральную последовательность. Действительно, разложим длинную точную последовательность
• • • > Ар+1 > Ар > Ар—1 > Ар—2 ^ ¦ ¦ ¦
левых R-модулей на короткие точные последовательности
• • •» КР Ар Кр-и Kp—i Ар—j —/Ср_2, ....
Для правого ^-модуля G и для каждого р мы получаем обычную длинную точную последовательность
—> ТоГд (G, Кр) —ТоГд (G, Ар) —> ТоГд (G, Кр—t) —>
Лтог,-!(G, /Ср)->...
со связывающими гомоморфизмами i. Все это можно собрать в точную пару с
Dp,q = ТоГд (G, Кр), Ер,q = ТоГд (G, Ар),
причем степени отображений i, /, k такие же, как в (5.5); кроме того, d — jk : Torq (G, Ap) ->-Torg (G, Ap_i) — гомоморфизм, индуцированный заданным отображением Ар -+АР_i. Аналогично, если С — левый ^-модуль, мы получаем точную пару с
Dp, q = Ext-9 (С, Кр), EPl q = Ext-9 (С, Ар) и со степенями отображений i, j, k, указанными в (5.5).
432
Гл. XI. Спектральные последовательности
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для точной пары © с членом Е первой четверти показать, что Dp-i. q — Dp, q-1 при p < 0 и q < 0. Описать верхний и нижний углы соответствующей диаграммы для К.
2. Показать, что точность производной пары К' может быть выведена из Кег-сокег-последовательности для диаграммы
г*
E/jkE —> D —> iD —>0
j, Wft)* j, j* 4
0 —» krHD —> k-UD —> 0.
Следующая последовательность упражнений описывает спектральные последовательности в терминах аддитивных отношений и принадлежит Пуппе [1962].
