Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 179

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 227 >> Следующая

Если L и М — подкомплексы (не обязательно положительного) комплекса К, то связывающее отношение
р = р (К; L, М): Нп (К/М) — Hn-i (L) (4.4)
определяется как аддитивное отношение, индуцированное дифференциалом д : К ->¦ К- При этом каждая группа гомологий должна рассматриваться как подфактор комплекса К, например Нп (К/М)— = Сп (К, М)1(дКп+1 vJ Мп), где Сп (К, М) — модуль относительных циклов (состоящий из всех элементов k 6 Кп, для которых dk 6 M„_i). Таким образом, р состоит из пар гомологических классов (k + (dKn+i и Мп), dk + dLn) для всех k ?Сп (К, L П М). Если М = L, то связывающее отношение р — это в точности связывающий гомоморфизм дь для короткой точной последовательности L >* К -» KIL комплексов. Имеет место более общее
Предложение 4.2. Если L и М — подкомплексы комплекса К, где Ln-i cz Mn-i и Ln cz Мп, то отношение р = р (К; I, М) можно описать через связывающие гомоморфизмы как произведение отношений
р (К; L, М) = Гхдм = дьр~г: Нп (К/М) Hn-i (L), где Р и у индуцированы единицей в коммутативной диаграмм
Нп (К)~^Нп (K/L) XHn-i (L) -> Hn-t (К)
II 4* й ly II
нп (К) -> нп (К/м) ЬЛ Hn-i (М) Hn-i (К).
Доказательство. Включения Ln-i cz M„_i и Ln cz cz Mn показывают, что единица индуцирует описанные гомоморфизмы р и у. В силу принципа эквивалентности (предложение 11.6.2)
§ 4. Трансгрессия
425
p-i и у-1 — аддитивные отношения, индуцированные единицей. По принципу композиции (предложение 11.6.3) каждое из произведений dL$~l и у-хдм оказывается аддитивным отношением, индуцированным гомоморфизмом <51 = 1д; отсюда следует требуемый результат.
Этот результат показывает, что Def р = Im Р и Ind р = Кег у.
В § 10 нам потребуется информация о воздействии цепной эквивалентности на связывающие отношения.
Лемма 4.3. Пусть f\K-*-K'— цепное преобразование, которое индуцирует изоморфизмы групп гомологий /* : Нп (К) а* s=; Нп (К'). Пусть L, М — подкомплексы комплекса К, a L', М' — подкомплексы комплекса К', и пусть f (L) a L', / (М) сz М', так что f индуцирует цепные преобразования g : L -> L', h : KIM.
К'/М'. Предположим, что gt и /г*— гомологические изоморфизмы и что Lk cz Mk, L'h cz M'k, k = n — 1, n, так же как в предложении 4.2. Тогда диаграмма
р = р (К; L, М): Нп ОК/М) ffn-i (L) j. J, 8*
р' = р (К'; L', М'): Нп (К'/М') — Hn-i (П коммутативна.
Этот результат вычисляет р' через р по формуле p'=g*p/C или обратно.
Доказательство. Поскольку /* и g* — гомологические изоморфизмы, точные гомологические последовательности для L, К, К/L и для U, К’, K'/L' показывают, что / индуцирует гомологический изоморфизм ф: KIL -*-K’IL'. По предложению 4.2 мы можем сосчитать связывающие отношения р = д$~1 и р' = = дЛ*'-1 с помощью строк коммутативной диаграммы
Нп (К/М) J- Нп (КП) Hn-i (L)
«j, h* >[¦ Ф* ^ ?*
Нп (К'/М') ?- Нп (K'/L') вЛ Нп-! (L').
Поскольку диаграмма коммутативна, Р'ф* = /i*р или Р-1/**1 = = ф^р'-1. Но ft* и ф* — изоморфизмы, поэтому Ф*Р-1 =
Теперь g*p = g^di#-1 = дь'Ч*#-1 = = p'/t*, что и утвер-
ждалось.
Теорема 4.4. Если F — канонически ограниченная фильтрация DG-модуля А, то «краевые эффекты» в спектральной последовательности фильтрации F могут быть вычислены с помощью А и
426
Гл. XI. Спектральные последовательности
подкомплексов L — F0A и М, где Мп — Fn-iAn u dFnAn+l. Именно краевые гомоморфизмы
Нп (FoA) = El, п -> Нп (А), Нп (А) -> El, 0 =- Нп (AIM)
индуцированы вложением F0A -+-А и проекцией A -+А/М соответственно, в то время как трансгрессия т является связывающим отношением р (A; F0A, М).
Доказательство. По (4.3)
Во, п — FoCnldFoAn+i = Нп (FoA).
По (4.2) и в силу определения Нп (А/М) через относительные циклы Еп,ъ~ (Zn. «uf n-iAn)l (аЛтц-i о F п-Ип) =
= Сп (А, М)/(дАп-н и Мп) = Нп (А/М).
Однако отображения ев и eF индуцированы единицей; отсюда следует первый результат. Аналогично каждое из аддитивных отношений т, р : Еп, о Ео, п_1 индуцировано д, так что т = р, что и тре-
бовалось доказать.
Эта ситуация может быть сделана наглядной в терминах комплексов
FoA-* А
I
А/М.
Поскольку Мп =5 (Р0Л)П для n> 1, трансгрессия может быть описана также в терминах обычных связывающих гомоморфизмов, как в предложении 4.2. Эта теорема показывает, как аддитивные отношения проясняют результат Серра (loc. cit., 1.3; его обозначение R = F0A, S = AIM). В случае послойного отображения /:?-»--+-В, Н (А) = Я (Е), Я (F0A) — гомология слоя, Нр (AIM) — = Е%, о = Нр (В, Z) — гомология базы. Таким образом, предложение 4.2 дает следующее «геометрическое» описание трансгрессии (впервые она была именно так и определена): гомологический класс базы трансгрессивен, если его можно представить таким циклом z, что z = fc, где с — цепь полного пространства и дс лежит в слое. Образ els z при трансгрессии является гомологическим классом любого такого элемента дс слоя.
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed