Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Поскольку F ограничена снизу, пересечение верхних членов из выражений для ЕТР равно FPC kj Fp_iA. Каждый элемент из FPB является границей да некоторого элемента a ? А — U FtA; значит, a ? Ft А для некоторого t. Тогда a ? Zp+r_i для r — t — p + U так что FpB\j Fp~i А снова равняется объединению подмодулей dZrp~1r_1 и Fp_tA, и поэтому мы имеем изоморфизм (3.3).
В формуле (3.8) один из верхних членов Zrv дает «приближенные циклы» уровня г, в то время как нижний член 3ZpIjlJ._i является подмодулем границ (границы элементов, лежащих на г уровней выше). ’
В доказательстве эти приближения выбраны таким образом, что следующее представляет собой гомологию предыдущего. Иная фор-
27*
420
Гл. XI. Спектральные последовательности
мула (для той же самой спектральной последовательности) появится в упражнении 1.
Фильтрация F D G-модул я А канонически ограничена, если F_iA = 0 и FnAn = Ап для каждой степени п.
Теорема 3.3. Если F — канонически ограниченная фильтрация (положительно градуированного) DG-модуля А, то спектральная последовательность фильтрации F лежит в первой четверти, а индуцированная фильтрация модуля НА конечна и имеет вид
О = F_iH„A a F0HnA cz FyHnA а ... cz FnHnA = HnA,
причем последовательные факторы FpHnIFp-iHn ^ ?р,п-р и изоморфизмы индуцируются 1А. Например, последовательность из теоремы Лерэ — Серра появляется из канонически ограниченной фильтрации модуля сингулярных цепей расслоенного пространства.
Доказательство. Поскольку F-tA =0, Е\ —
— Н (.FpAIFp-tA) = 0 для р < 0. Поскольку FnAn — Ап, из q < 0 следует FpAp+q = Fp-iAp+q и, следовательно, E%,q = О для q < 0. Поэтому все ненулевые члены Erp,q лежат в первой четверти плоскости (р, q), и индуцированная фильтрация в Нп (Л) конечна, что и утверждалось.
При п = 1 фильтрация Нi равносильна описанию Нi как среднего члена короткой точной последовательности
0 -> Ео, 1 Л Hi Л ЕТ, о 0.
Для каждого п фильтрация Нп порождает мономорфизм Ео,п -*¦ ->-Я„ (Л) и эпиморфизм Я„ (Л) -*-Еп,о- Комбинируя их с краевыми гомоморфизмами, мы получаем отображения
El, п -> Нп (А), Нп (А) El, о, (3.10)
каждое из которых индуцировано \А. Вообще спектральная последовательность фильтрации F определяет не Я (Л), а подфакторы FpH/Fp_iH, утверждая в то же время, что каждый из них является в свою очередь подфактором модуля Ер — Я (FpA/Fp^A).
Теорема 3.4. (Теорема об отображении.) Пусть А, А' являются DGz-модулями с фильтрациями F и F', ограниченными снизу и сходящимися сверху. Если а: (F, A) -+-(F', А') — такой гомоморфизм, что для некоторого t индуцированное отображение
<xf: Е1 (F, А) & Еп (F', А')
является изоморфизмом, то и отображения аг являются изоморфизмами при оо >г> ^ и, кроме того, а* : Я (Л) -v Я (Л') -— изоморфизм.
§ 3. Фильтрованные модули
421
Доказательство. Поскольку обе спектральные последовательности ограничены снизу, предыдущая теорема об отображении (теорема 1.1) показывает, что аг и а00 : Е°° суть изо-
морфизмы. Рассмотрим индуцированное отображение а„ : Я„(Л) ->~Нп (А') на гомологии для фиксированной степени п и соответствующие отображения аР)П : FPH„ -> F'vH'n. Поскольку обе фильтрации ограничены снизу, существует такое s, что FaHn = 0 = F'sH'n. Изоморфизмы сходимости (3.3) дают горизонтальные последовательности коммутативной диаграммы
О Fp-iHniA) FpHn(A) -> О
1ар-1. п п 1а
О F'p-iHn {А') FpHn(Ar) -> Е^п-р о.
Поскольку а00 — изоморфизм, индукция по р и лемма о пяти гомо* морфизмах показывают, что арп — изоморфизм. Фильтрация F сходится сверху, поэтому Нп (Л) = (J FpHn (Л); отсюда следует, что ап — изоморфизм, что и требовалось.
При t = 1 из условий этой теоремы вытекает, что индуцированное отображениеНп (FpAIFp iA) —>~ЯП (F'PA' IF'p-iA') является изоморфизмом для всех пир. Этот специальный случай теоремы был уже доказан в теореме V.9.3 и вновь в теореме X.l 1.2.
Пусть а, р : (F, Л) -> (F', А') — гомоморфизмы FDGZ-модулей. Говорят, что цепная гомотопия s : а ~р имеет порядок t, если 5 (FPA) с F'p+t Л' для всех р.
Предложение 3.5. Если s : а ^ Р — гомотопия порядка Kt, то
ar = рг: ЕТ (F, A)->E'T(F’, А'), для r > t и а* = р* : Я (Л) -> Я (Л').
Доказательство. Утверждение а* = р* вытекает из существования гомотопии (независимо от ее «порядка»). Для доказательства остального достаточно рассмотреть отображение у = а —
— Р, гомотопию s : у ~ 0 и доказать, что vr = 0. Запишем Erv,q как подфактор (3.8). Если а 6 1ГР, то уа — dsa + sda, где да ? FP-TA, так что sda?F'p_lA', поскольку t<.r, в то время как sa ?Fp+r^iA', dsa = уа — sda 6 FPA' и sa G Zp+r-i (Л')- Значит, элемент уа в aZp^.r_i lj Fp-iA' принадлежит нижнему члену выражения для Е'рг и поэтому определяет нуль.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что формулы Ер= Zpl(dZr^r_i и Zpz\) вместе с отображениями dr: Ер->Ер_г, индуцированными д:А-*-А, определяют спек-
