Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
X' -*¦ Y' как семейство f'v — IP (/р) : Хр -*• Y'p. Значит, f'vd"' — = d"fp и d'f'p = /р-id'; Тогда для/* = ? /р, d*f* — f*d*, и поэтому
2 5—363
386
Гл. X. Когомология алгебраических систем
/* является цепным преобразованием/* : X* -*¦ У*. Это показывает, что конденсация есть функтор, как и утверждалось.
Предложение 9.2. Каждая цепная гомотопия s : / & ^g: X -> Y из Л? (3" (<#•)) определяет цепную гомотопию s* : f* ~ ~ g*: X* -*¦ Y* конденсированных комплексов.
Доказательство. Нам дано семейство {sp : Хр Yp+i} морфизмов из X (#-), причем dp+isp + sp-idp = fp —gp. Каждый морфизм sp является цепным преобразованием, определяющим цепное отображение s'p : Х’р Y'p+i степени 1. Именно s' = Lp+1 (Sp) I = ILP (sp) : Lv (Xp) (Ур+]). Поскольку Sp
имеет степень 1, d"sp = — Spd". С другой стороны, d's' s'd' = = /' —Складывая, получаем морфизм s* = ? sp : X* -*¦ Y* степени 1 и d*s* + s*d* = f* — g*; следовательно, s* — цепная гомотопия, что и утверждалось.
Мы рассмотрим также влияние конденсации на тензорные произведения комплексов. Предположим, что в исходной категории & определено тензорное умножение, которое является ковариант-ным бифунктором из & в &. Тензорное умножение вводится в категории X (&) ^-комплексов X, У обычными формулами
(X ® Пг - Е ® И
д = (дх ® 1) + (- 1)р 1 ® : Xp ® Ув-* (X <81YW,. (9.1)
В частности, если ©# — категория модулей над некоторым коммутативным основным кольцом, то этими формулами вводится тензорное умножение в категории X (X (а^)) комплексов комплексов.
Предложение 9.3. Существует естественный изоморфизм г|з: (X ® У)* ш X*® У*.
Доказательство. Для обычных комплексов К и К' из X (&) и любых р, q существует цепной изоморфизм г|)р> q : Lp+q (К 0 К') аг LPK ® определяемый формулой
Ч>р,?*р+а (* ® k') = (- l)qaeeklpk ®
Пусть теперь X и У — комплексы комплексов (т. е. объекты категории X (X (.#)). В комплексе комплексов X ® У будет (X ® У)п = ? Хр ® У„ так что изоморфизмы г|)р,а для р + q = п устанавливают цепной изоморфизм обычных комплексов
г|)п : Ln ((X ® Y)n) ^ S Lp (Хр) ® L* (Xq).
P+Q=n
Комплекс (X® У)* есть прямая сумма комплексов Ln ((X ® У)п) с граничным морфизмом д’ 4* д". Комплекс X* ® У* равен (Е LPXP) ® (2 LqYq) с дифференциалом, определенным обычной формулой (9.1) для тензорного произведения, исходя из дифферен-
§ 10. Резольвенты и конструкции
387
циалов д* = д' + д" для X* и У*. По построению г|зп коммутирует с дпрямой подсчет показывает, что коммутирует с д' и, следовательно, со всем дифференциалом д*.
Замечание. Понятие комплекса комплексов обычно не отличают от тесно связанного с ним понятия «бикомплекса», которое будет рассмотрено в XI.6. Внешнее различие заключается в знаке в формуле d“xv,q — (—1 )р dxp,q.
§ 10. Резольвенты и конструкции
От алгебр Л мы теперь переходим к DGA -алгебрам U. Когда U-модуль А снабжается резольвентой, то появляются два граничных дифференциала: один из дифференциала в Л, другой из резольвенты. Подходящая комбинация этих дифференциалов превращает резольвенту в некоторый определенный {/-модуль, называемый «конструкцией»; в частности, каноническая резольвента основного кольца порождает «5-конструкцию» В (U). Она может быть описана непосредственно последовательностью формул (10.4) — (10.8), из которых вытекают основные свойства В (U), сформулированные в теореме 10.4, так же, как и ее связь с «редуцированной» В-конструкцией из следствия 10.5. Вместо этого сначала опишем В-конструкцию аксиоматическим образом путем конденсации канонической резольвенты для подходящей относительной категории.
Пусть U есть .DGA-алгебра (дифференциальная градуированная пополненная алгебра) над коммутативным кольцом К. Каждый левый fZ-модуль Л (определенный, как в (VI.7.3)) можно считать DG-модулем (т. е. положительным комплексом К-модулей), пренебрегая частью структуры в Л. Отсюда следует, что алгебра U определяет резольвентную пару категорий:
& — все левые {/-модули Л с морфизмами степени 0; tM = все DG-модули М с морфизмами степени 0;
F (М) = U®M и е (т) — 1 ® т 6 F (М). Обозначим через е: U -»~К пополнение алгебры U; при отступлении К превращается в левый {/-модуль еК. Пополнение А или М — это морфизмы
: А ¦—> еК, &м • М —>• К,
Предложение 10.1. Каждый левый U-модуль А определяет DG-модуль
А — К ® и A А/J А, где J — ядро е :{/->• К. Если модуль А пополнен, то и А пополнен.
Доказательство. Напомним (VI.7), что тензорное произведение {/-модулей является DG-модулем. Поскольку «/>-»{/ К есть точная последовательность правых {/-модулей, последователь-
25*
388
Гл. X. Когомология алгебраических систем
ность
J ® и А —> U А —> К А —> О
точна справа как последовательность DG-модулей. Но U <gi СА ^ ?= Л, так что модуль А, стоящий справа, изоморфен фактормоду-лю модуля А по образу JA модуля J ® VA. Если еА — пополнение А, то определим пополнение А формулой ej(k <g> а) — keA (а).
