Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 16

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 227 >> Следующая

А1—>А2—»
I VI | Y2
П
§ 7. Категории
43
Предложение 7.1. Пусть {at : At -*¦ С} и {a't:At-*--*¦ С") — две диаграммы прямой суммы одного и того же семейства объектов {At} произвольной категории %. Тогда в % существует такая единственная эквивалентность 0: С -*¦ С\ что 0at — a< для каждого t.
Аналогичная теорема единственности справедлива для диаграммы прямого произведения, т. е. диаграммы {у(: В^>~А{ ? Т}
такой, что для любой другой диаграммы {y't : В" At \ t ? Т) существует единственный морфизм р : В" -*¦ В, для которого Vt = YtP для всех t € Т.
Определение прямого произведения строго параллельно определению прямой суммы, однако направления всех стрелок изменены на противоположные. Мы говорим, что прямое произведение «двойственно» прямой сумме. Вообще двойственным к некоторому утверждению © (исчисления высказываний первого порядка) о категории % считается утверждение ©*, полученное из © изменением направления всех морфизмов, заменой каждого произведения морфизмов ар на произведение Ра и перестановкой области определения и области значений. Сразу же отметим, что двойственное утверждение к каждой аксиоме из определения категории также является аксиомой. Поэтому доказательство, двойственное к доказательству некоторого утверждения © о категории %, опирающемуся только на аксиомы, есть доказательство двойственного утверждения ©*. Например, предложение, двойственное к предложению 7.1, утверждает, что диаграмма прямого произведения относительно данных объектов единственна (с точностью до эквивалентности). Поскольку доказательство предложения 7.1 опиралось только на аксиомы категории, двойственное предложение справедливо без дополнительного доказательства. Однако может случиться, что предложение ©, формулировка которого использует только объекты и морфизмы, справедливо в некоторой определенной категории, хотя двойственное утверждение неверно. Например, в категории всех счетных абелевых групп существует диаграмма прямой суммы счетного множества счетных групп Аи • • ., Ап, . . но не существует полного прямого произведения тех же групп (в сущности, потому, что полное прямое произведение этих групп, существующее в категорий всех абелевых групп, несчетно).
Для каждой категории % можно построить двойственную категорию ®°р. В качестве объектов категории ®ор возьмем класс, находящийся во взаимно однозначном соответствии А* *-+ А с объектами А категории %. В качестве морфизмов возьмем класс, находящийся во взаимно однозначном соответствии а*+-»ас морфизмами из 4$. Дополнительно потребуем, чтобы а* : А* В* тогда и только тогда, когда a : В ->• А, и чтобы произведение а*р* было опре-
44
Гл. 1. Модули, диаграммы и функторы
\
делено и равнялось (|3а)* тогда и только тогда, когда определено-произведение рос. Тогда $ор будет категорией, и любое утверждение <3* о категории % — это в точности то же самое, что и исходное утверждение <5 о категории <ёор. Это обстоятельство вновь показывает, что утверждение, двойственное к доказуемому, доказуемо. Взаимно однозначное отображение Т: ^(ё°р, Т (А) = А*, Т (а) = а*, является «антиизоморфизмом», поскольку Т (Рос) = = Т{а) Г(Р).
Впоследствии мы определим специальный класс категорий г называемых «абелевыми категориями», потребовав по существу ^ чтобы множество hom (А, В) было абелевой группой и чтобы существовали ядра и коядра, как в случае категорий модулей. Оказывается, что многие теоремы о модулях остаются верными, если модули и их гомоморфизмы заменить объектами и морфизмами произвольной абелевой категории. Интересующийся читатель может сразу перейти к гл. IX и XII.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что в категории топологических пространств непересе-кающееся объединение двух пространств дает диаграмму прямой суммы и что декартово произведение X X Y двух пространств с обычной топологией и естественными проекциями на X и У дает диаграмму прямого произведения.
2. Показать, что для любых двух объектов в категории групп существует диаграмма прямой суммы и диаграмма прямого произведения.
Замечание. «Прямая сумма» не обязательно абелевых групп более известна как их «свободное произведение».
3. Рассмотрим класс М элементов а, (3, у. ... с частично определенным умножением Ра 6 <М. Назовем элемент х единицей в еМ, если хр = Р и ах = = а всякий раз, как определены произведения хР и ах. Тогда еМ называется абстрактной категорией, если выполнены следующие аксиомы.
(i) Произведение у (|5а) определено тогда и только тогда, когда определено произведение (yP) а. Если эти произведения существуют, то они равны. Это произведение трех множителей будет записываться как у($а.
(ii) Произведение yP<* определено всякий раз, как определены оба произведения yP и Ра.
(iii) Для каждого элемента а ?<М существуют такие единицы х и х', что определены произведения ах и х'а х).
Доказать, что класс морфизмов категории образует абстрактную категорию, н обратно, что элементы произвольной абстрактной категории являются морфизмами некоторой категории <ё, которая определена с точностью до изоморфизма категорий.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed