Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 159

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 227 >> Следующая

Доказательство для модулей когомологий проводится аналогично с использованием % вместо t|>.
Прямое произведение А= Гх2 двух К-алгебр можно рассматривать как частный случай прямого произведения колец (IX.9). Когомология Хохшильда Нп (А, А) — это Extyj.s) (А, А), где R = А 0 А°р, причем
(Г х 2) (8) (Г х 2)ор & (Г 0 Гор) х (Г 0 2ор) х (2 0 Гор) х (2 0 20Р),
a S — образ отображения / : К А 0 А°р; проекция этого образа на любой из четырех прямых множителей алгебры А 0 А°р совпадает с соотвествующим образом К в этом множителе. Предложение IX.9.2 утверждает, что каждый Л-бимодуль Л имеет каноническое разложение
А ='А'©'А" ©"А'© "А", гА'г, гAz, *Ar, ЬА? (6.4)
в прямую сумму указанных бимодулей,• более подробно, 'А' — = Г 0ЛЛ 0дГ и т. д. В частности, Л-бимодуль Л представляется как прямая сумма Л = Г © 2 только двух ненулевых компонент:
§ 7. Гомология тензорных произведений
Ъ7Т
Г-бимодуля Г и 2 -бимодуля 2. Из теоремы IX.9.4 для случая четырех множителей вытекает
Теорема 6.2. Для каждого (Гх 2)-бимодуля А имеюгАся естественные изоморфизмы
Нп (Г х 2, А) & Нп (Г, Г ®аА ® ЛГ) @ Нп (2, 2 ® ЛА ® л2), (6.5)
Нп (Г х 2, А) е& Нп (Г, Г ® аА ® ЛГ) © Нп (2, 2 ® ЛА ® л2). (6.6)
Действительно, проекции Г X 2 ->Г и А -> Г ®ЛА ®лГ порождают морфизм ?' в категории jg’k замен алгебр из § 4 и, следовательно, мбрфизм ?*: Нп (Гх2, А) -*-Нп (Г, Г ®ЛА ® ЛГ)-Замена Г на 2 дает отображение ?*; изоморфизм (6.6) является сопоставлением %Ji). Аналогично изоморфизм (6.5)
в противоположном направлении индуцируется проекцией Г X 2 -*¦ ->Ги вложением Г ®Л А ®лГ-»-Л в категории J’k-
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для группы П и коммутативного кольца К дать прямое описание пополненной К-алгебры Z (П)к (она называется групповой алгеброй группы П над К).
2. Для Л-бимодуля А показать, что существует единственная Лн-бимо-дульиая структура в Ан, такая, что (/к, /л, jA) : (К, Л, А) -*• (R, Лк, Лн) есть замена колец из J8+. Получить естественный гомоморфизм Нп (Л, А) -*¦ -*¦ Нп (Лк, Ав) и показать иа примерах, что он может не быть изоморфизмом. Отметить также, что модуль AR, превращенный в Л-бимодуль отступлением вдоль /л, не совпадает с А.
§ 7. Гомология тензорных произведений
Рассмотрим тензорное произведение Л® Л' двух К-алгебр А и А'. Если А и А' — бимодули над А и А' соответственно, то Л® Л' есть А® А'-бимодуль, причем левые операторы действуют так: (k ® V) (а ® а') = Ха ® К а', правые операторы действуют аналогично. В некоторых случаях мы можем вычислить гомологию модуля Л ® Л', зная гомологию Л и Л'.
Предложение 7.1. Если г : X ->¦ Л и г' : X' -*• А' есть К-расщепляющиеся резольвенты левых А- и А’-модулей соответственно, то г ® е': X ® X' -*¦ А ® А' есть К-расщепляющаяся резольвента левого (А® А')-модуля А ® Л'. Если X и X’ относительно свободны, то относительно свободна и резольвента X ® X'.
Доказательство. Предположение о К-расщепляемости резольвенты X означает, как показано в следствии IX.5.3, что существует К-модульная стягивающая гомотопия s, квадрат кото-
378
Гл. X. Когомология алгебраических систем
рой равен нулю. Эти гомотопии для резольвент X и X' вместе дают К-модульную стягивающую гомотопию (V.9.3) для резольвенты г ^ е': X ® X' ->¦ А ® А', квадрат которой тоже равен нулю.
Если резольвенты X и X' относительно свободны, то Хр = = Л ® Мр иХ; = Л'0 Мд для некоторых К-модулей Мр и Мд, так что (X®X')n ^ S (-^ ® Л') ® {Мр ® Мд), где прямая сумма берется по всем р + q = п, есть относительно свободный модуль.
Применяя этот результат к В-резольвенте, получаем
Следствие 7.2. Для модулей ЛЛ, а>А' существует цепная эквивалентность
В (А, А) ® В (А\ A')^tB (Л ® Л', А ® А'), (7.1)
f
отображения которой являются цепными преобразованиями комплексов левых А® А'-модулей, коммутирующими с е и е'.
Доказательство. В силу предложения 7.1 обе части соотношения (7.1) являются К-расщепляющимися относительно свободными резольвентами левого А ® А'-модуля А ® А'; теперь •остается применить теорему сравнения.
Точное выражение для цепного преобразования дается следующим естественным отображением:
f{X ® V [Я* ® Я,;|... |Яп ® К] а ® а'} =
П
= S % [kt |... | %i] %т ...Ка® k\ ...XI lK+t | • • • | K]a'; (7.2) i=0
действительно, читатель может проверить, что это отображение есть каноническое сравнение. То же самое можно установить, убедившись в том, что f — это отображение Александера — Уитни {VII 1.8.7), определяемое на В (А, А) = pw(A, А) симплициаль-ной структурой в § (А, А).
Для случая А — А, А' = А' это следствие устанавливает цепную эквивалентность
В (А, А) ® В (А', А') (А ® А', А 0 А') (7.3)
А ® А'-бимодулей; отображение f снова задается формулой, аналогичной (7.2).
Т е о р е м а 7.3. Гомологическое и когомологическое умножения индуцируют гомоморфизмы
рл: Hh(А, А) ® Нт (А', А’) -> Hk+m (А ® Л', Д ® А'), (7.4)
рл: Hh (Л, А) ® Ят (А', Л') -> Я*+т (A <g> А', Л ® Л') (7.5)
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed