Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 14

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 227 >> Следующая

Аналогичными рассуждениями читатель может доказать следующую теорему.
Теорема 6.2. Если последовательность М -Д. В JL> С 0 точна и D — произвольный модуль, то индуцированная последовательность
0 -» Ношд (С, D) Д Нотн (В, D) Д Н0тн (М, D) (6.7)
точна.
Последовательность М В С 0, точная в В и С, называется короткой точной справа последовательностью. Последняя теорема утверждает, что функтор Ношн (—, D) при фиксированном D переводит каждую короткую точную справа последовательность в короткую точную слева последовательность; по предыдущей теореме Нотл (D, —) переводит короткую точную слева последовательность в короткую точную слева последовательность. Если
о
А у* В -» С — короткая точная последовательность, то желательно иметь точные последовательности
0—>HomH(D, А) —>Нотн(А В) Д Нотн(D, С)-*?, (6.6')
0 -> Нотн (С, D) Ношд {В, D) -* Ношд (A, D) -* ?. (6.7')
§ 6. Функтор . Нот
39
В силу двух предыдущих теорем каждая из этих последовательностей точна, кроме, возможно, правого конца. Если вместо ? поставить 0, то, как правило, последовательности не будут точными. Например, точность последовательности (6.6') в Ношн (D, С) означала бы, что каждый гомоморфизм h : D С представим в виде Л = ah" при некотором h": D В, т. е. каждый гомоморфизм в фактормодуль С — В ЫА мог бы быть проведен через В (что было •бы возможно при проективном модуле D). Чтобы убедиться в неверности этого утверждения, положим R = Z и D = Zm, циклической группе порядка т. Для короткой точной последовательности Z >* Z -» Zm, в которой первый гомоморфизм х задается умножением целых чисел на т, последовательность (6.6') принимает вид
0 -v 0 0 -v Нот (Zm, Zm) -*¦ 0 и, очевидно, не является точной.
Аналогично последовательность (6.7') может не быть точной, если поставить 0 вместо ?, поскольку не всякий гомоморфизм f : A -*-D подмодуля A cz В может быть продолжен до гомоморфизма В в D. Можно описать объект, создающий «препятствие» для расширения указанного гомоморфизма f. Группа этих объектов, поставленная в (6.7') вместо ?, восстанавливает точность последовательности. Эта конструкция, строящаяся одновременно для последовательностей (6.6') и (6.7'), является одним из объектов изучения гомологической алгебры.
Теперь мы можем доказать несколько свойств, характеризующих проективные модули.
Теорема 6.3. Следующие свойства модуля D эквивалентны:
(i) модуль D проективен;
(ii) для каждого эпиморфизма а : В -» С индуцированный гомоморфизм а* : HomH {D, В) Нотн (D, С) является эпиморфизмом;
(iii) если А >* В -» С — короткая точная последовательность, то и последовательность 0 Нотя (D, А) -*¦ Нотн (D, В)
->- Нотн Ф, С)-*- 0 точна;
(iv) каждая короткая точная последовательность А » В -»D расщепляема.
Доказательство. Содержащееся в (ii) утверждение, что <т* — эпиморфизм, означает, что каждый гомоморфизм у : D С может быть представлен в виде у = сф; это в точности и означает, что D — проективный модуль.
Ввиду точности последовательности (6.6) условие (ii) эквивалентно условию (iii). Наконец, если модуль D проективен и <т : В -» D, то отображение Id : D D можно представить в виде
1 = ар, где Р : D В, поэтому последовательность из (iv) расщепляется. Обратно, пусть всякая короткая точная последовательность, оканчивающаяся модулем D, расщепляется. Представим D
40
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
как образ р : F -» D некоторого свободного модуля F. Поскольку последовательность Kerp>*.F-»D расщепляется, D является прямым слагаемым модуля F по предложению 4.2; в силу предложения 5.5 модуль D проективен.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Каждый левый идеал L кольца R есть ^-модуль и последовательность L >-» R -» R/L точна. Предположим, что L2 Ф L.
(i) Последовательность (6.6') может не быть точной, если вместо ? поставить 0. Показать это для D = R/L, установив, что гомоморфизм Нотн (R/L, R) -*¦ Нотд (R/L, R/L) не является эпиморфизмом (1 не является .образом!).
(и) Последовательность (6.7') может не быть точной, если вместо ? поставить 0. Показать это Для D = L, установив, что гомоморфизм Нотя (R, L)
-*¦ Нотд (L, L) не является эпиморфизмом (1 не является образом!).
2. Для произвольного множества индексов Т установить изоморфизм
Нотн (2<Л4> В) га П4 Нотд (At, В),
сопоставляя каждому отображению f:^At-*-B набор его ограничений ft'. At ^ В.
3. Для произвольного множества Т индексов установить изоморфизм
Нотд (А, ПtBt) = П( Нотд (A, Bt).
§ 7. Категории
Категория состоит из «объектов» и «морфизмов», которые могут иногда «перемножаться». Формально, категория 46 — это клеше объектов А, В, С, . . ., вместе с
(i) семейством попарно непересекающихся множеств hom (А, В), причем каждой паре объектов отвечает единственное множество;
(и) функцией, заданной для каждой тройки объектов А, В, С и сопоставляющей элементам а 6 hom (А, В) и |3 6 hom (В, С) элемент Ра 6 hom (А, С);
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed