Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 139

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 227 >> Следующая

Предложение 3.1. (Гротпендик} 11957].) Если категория *8 — малая, а категория & — абелева, то категория 3 = = Dgram Сё, &) является абелевой. Если fug — морфизмы из 35, то f || g в 3 тогда и только тогда, когда для каждого объекта С, f(C)\\g(Q в Я.
Доказательство. Пусть f:T-*~S есть естественное преобразование. Поскольку категория 4S мала, то можно выбрать для каждого объекта С мономорфизм k (С) ? кег / (С) с областью определения К (С). Значит, k (С): К (С) -*¦ Т (С) есть морфизм из Поскольку / естественно, каждый морфизм у: С-у С определяет коммутативную диаграмму
0->К(С) т (С)-^> S (С)
I |t<Y) , |s(Y)
о-»к (С') т (С') s (С')
с точными строками. Так как f (С) [Т (7) k (С)] = 0 и k (С’) является ядром f (С*), то существует единственный морфизм К (у) (указанный пунктирной стрелкой), для которого Т (7) k (С) = = k (С') К (у). Отсюда следует, что К: % & как функция, задан-
ная на объектах и на отображениях К (7), является функтором, и k : К-*~ Т есть естественное преобразование. Как морфизм из 2В преобразование k является мономорфизмом, так как если kh — 0, то (kh) (С) = k (С) h (С) ~ 0 для каждого объекта С; поскольку
k (С) — мономорфизм в А, то h (С) — 0. Далее, если g: R Т
§ 3. Категории диаграмм
331
есть такое естественное преобразование, что fg = 0, то каждый морфизм g (С) единственным образом представим в виде произведения g (С) = k (С) h (С), h : jR К — естественное преобразование и g = kh. Следовательно, k 6 ker^; f. Эти рассуждения вместе с двойственными им доказывают выполнение аксиомы (Abel-1) в j и доказывают также, что
f —мономорфизм в ЗЬ Ф=Ф каждый морфизм f(C) — мономорфизм в <#;
&?kerg;каждый морфизм k (С) ? кегj$f (С).
Эти утверждения вместе с двойственными доказывают выполнение аксиомы (Abel-2).
Для получения стандартного разложения (Abel-З) для / : Т 5 выберем для каждого объекта С стандартное разложение f (С) = = I (С) t (С); области значений R (С) морфизмов t (С) порождают функтор R: Ч§причем t: Т-*¦ R является эпиморфизмом, 1: R —*¦ S является мономорфизмом в 3 и / = It. Поскольку категория % мала, можно выбрать для каждого функтора Т множество представителей подобъектов Т и для каждой пары функторов S и Т множество представителей расширений S с помощью Т, доказав тем самым, что категория 3 удовлетворяет дополнительным теоретико-множественным аксиомам (§ 1) для аддитивной категории.
Теперь рассмотрим диаграммы, включающие нулевые объекты. Объект N произвольной категории % назовем нулевым объектом, если для каждого объекта С и f существуют ровно один морфизм С -v N и ровно один морфизм N -*¦ С; обозначим эти морфизмы как 0С : С -*¦ N и 0е : N -*¦ С. Любые два нулевых объекта в % эквивалентны, и любой объект, эквивалентный нулевому, сам является нулевым.
Для данных объектов С и D произведение 0D0c : С -*¦ N -*• D не зависит от выбора промежуточного нулевого объекта N\ оно может быть названо нулевым морфизмом 0®:С-*-0. Новый нулевой объект может быть присоединен к любой категории. В аддитивной категории нулевые объекты — это в точности нулевые объекты в прежнем смысле, а нулевые морфизмы 0: С—>D совпадают с нулями групп hom (С, D).
Если в категориях ‘ё и & имеются нулевые объекты, то нормализованный функтор Т: 48 <#• — это функтор, для которого
Т (N) — нулевой объект для некоторого (и, следовательно, для любого) нулевого объекта N из <ё. Отсюда следует, что Т переводит нулевые морфизмы в нулевые морфизмы. Категорию всех нормализованных функторов будем обозначать Dgram^ (??, А). Предложение 3.1 по-прежнему остается в силе.
332
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Примером служит категория комплексов. Чтобы убедиться в этом, в качестве % возьмем следующую малую категорию:
п 0-1 I 00 П 01 1
N; ... <---2<-----1 <—0<— 1 <— .,.;
объектами этой категории являются все целые числа я и нулевой объект N\ морфизмами — все единицы, нулевые морфизмы п-у N, N -у п, п —>¦ т и морфизмы дп:п-+-(п—1). Умножение морфизмов определяется требованием, чтобы произведение dn-idrt равнялось нулю.
Возьмем произвольную абелеву категорию &. Нормализованный ковариантный функтор Т -*¦ # задается последовательностью ... ч- Tn-t ч- Тпч- . . . объектов и морфизмов из причем дп-idn = 0, так что это в точности цепной комплекс объектов из & (сокращенно ^комплекс). Естественное преобразование f : Т -у S является цепным преобразованием. Следовательно, Dgram^ (<ё, ¦#-) — категория всех ^--комплексов; по предложению 3.1 она абелева. Если категория & отмеченная, то объекты гомологий Нп (Т) = = Кег дп/1тдп+1 можно определить обычным способом; читатель должен показать, что каждое отображение /: Т -*¦ S индуцирует f* : Нп (Г) -v Нп (S), так что Нп — ковариантный функтор, определенный в категории Dgranv (%, #), и что гомотопии имеют обычные свойства.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что категория градуированных объектов абелевой категории М является абелевой.
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed