Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
аи = 0 и из а0 = О следует Р = «Р' (1.10)
для некоторого р\ обязательно единственного. Другими словами, правые аннуляторы морфизма а являются в точности правыми кратными его ядра х. Следовательно, любые два ядра х и х' морфизма а эквивалентны справа, так что класс всех ядер а, если он не пуст, есть подобъект объекта А, который мы обозначим как кег а. Двойственно, коядро морфизма а : А -> В является таким
21*
324
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
эпиморфизмом а с областью определения В, что
сга = 0 и из уа = 0 следует у — у'а (Ы1)
для некоторого у', необходимо единственного. Левые аннуля-торы а являются поэтому левыми кратными коядра а морфизма а. Любые два коядра а эквивалентны слева; если а имеет коядро, то класс всех коядер а есть факторобъект объекта В, так что а ? coker а означает, что а — одно из коядер а. В категории модулей проекция В В/аА есть коядро морфизма а.
Непосредственным следствием соответствующих определений является
Лемма 1.1. Если произведения оф, ха и аа определены, то справедливы следующие импликации:
а0 — мономорфизм =?> р = мономорфизм, ар = эпиморфизм =$ а = эпиморфизм, х = мономорфизм кег (ха) = кег а, а = эпиморфизм =?> сокег (аа) = сокег а.
Кроме того, кег 1А = 0, сокег \А = 0 и для 0: А В, 1А ? кег 0 и 1в 6 сокег 0 (запись кег 1 = 0 есть сокращение для 0 б кег 1).
Наконец мы вводим обозначение для короткой точной последовательности, полагая
а || р а ? кег р & р ? сокег а; (1.12
отсюда следует, что а — мономорфизм, а Р — эпиморфизм, так что можно прочесть «х || а» как «х и а есть морфизмы короткой точной последовательности».
Для того чтобы не вступать в противоречие с основаниями математики, мы хотим, чтобы собрание всех подобъектов объекта А и собрание всех расширений А с помощью С были множествами, а не классами. Поэтому для аддитивных категорий мы предполагаем выполненными две дополнительные аксиомы.
Множества подобъектов и факторобъектов. Для каждого объекта А существует множество морфизмов х, являющихся мономорфизмами с областью значений А, которое содержит представителя каждого подобъекта объекта А и двойственно для фактор-объектов.
Множество расширений. Для каждой пары объектов С и Л и каждого /г> 1 существует множество /г-кратных точных последовательностей из Л в С, которое содержит представителя каждого
§ 2. Абелевы категории
325
класса конгруэнтности таких последовательностей (причем «конгруэнтность» определяется, как в II 1.5).
Обе аксиомы выполнены во всех интересующих нас примерах.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать: если 0 : А -*¦ В есть мономорфизм, то А — нулевой объект, и обратно.
2. Для указанного выше изоморфизма <р показать, что ф'1 (Yi, Y2) = = Vc (Yi ® Уг)-
3. Для а, р : А -*¦ В доказать, что а + р = VB (а ф Р) ДА-
4. Показать, что прямая сумма двух коротких точных последовательностей точна.
5. Построить аддитивную категорию (некоторых) абелевых групп, в которой мономорфизм в теоретико-категорном смысле может не быть взаимно однозначным отображением. (Указание: опустить несколько подгрупп.)
6. Построить аддитивную категорию некоторых абелевых групп, в которой некоторые морфизмы не имеют ядер или коядер.
7. В категориях множеств, модулей и (не обязательно абелевых) групп показать, что морфизм тогда и только тогда является мономорфизмом, когда он инъективен, и является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда он проективен (как отображение множеств).
§ 2. Абелевы категории
Для эффективного использования только что введенных понятий ядра и коядра нам нужны условия, обеспечивающие непустоту этих классов. Далее, каждый мономорфизм должен быть ядром своего коядра, и обратно. Для модулей образ гомоморфизма а: А -> В появляется в разложении А ->¦ аА -> В, в котором первый множитель А -> аЛ является эпиморфизмом, а второй множитель аЛ -> В есть вложение и, значит, мономорфизм. Соответствующими свойствами обладают и другие знакомые нам категории: категории всех комплексов модулей над фиксированным кольцом с цепными преобразованиями в качестве морфизмов; категория всех модулей над данной градуированной алгеброй с морфизмами степени нуль; категория всех модулей над данной DG-алгеброй. Поэтому аддитивная категория & называется абелевой, если выполнены следующие дополнительные аксиомы.
(Abel-1). Для всякого морфизма а из & существуют морфизмы к ? ker а и а ? coker а.
(Abel-2). Для мономорфизма х и эпиморфизма о , к ? кегсг тогда и только тогда, когда а б coker к.
(Abel-З). Каждый морфизм из & можно разложить в произведение а = где К — мономорфизм ист — эпиморфизм.
326
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Аксиому (Abel-2) можно перефразировать так: если о-эпиморфизм и х ? ker а, то х || а и двойственно. Эти три аксиомы объединены в следующей теореме:
Теорема 2.1. Для каждого морфизма а существуют морфизмы х, а, К, т, образующие следующую диаграмму и обладающие указанными свойствами:
