Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
¦ф : hom (С, © Л2) ^ hom (С, AJ © hom (С, Л2),
где г|)у = (Л17, я27) и if-1 (уи yz) = 471 + i272.’ Следовательно, диаграмма {яу- : Ау © Аг Aj \ j = 1, 2} коуниверсальна. Обычные диагональный и кодиагональный морфизмы
Ад = ц -f-12 '• А—>Л©Л, Va = Я1 -f- Я2: А © А—> А (1.6)
характеризуются соответствующими свойствами
я^д = 1 д = я2Аа) Va4= 1a = Va12. (1.7)
21—353
322
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Если даны две прямые суммы Л4 © Л2 и и морфизмы
a^ : А] -*¦ AJ, то существует такой единственный морфизм cti © «2 : Ai © Az —*¦ Ах © Ла, что
Тот же самый морфизм характеризуется двойственными свойствами
Итерированная прямая сумма At @ (Л2 ® . . . ® Л„) с соответствующими вложениями является универсальной диаграммой, и любая универсальная диаграмма для Аи • • •> Ап эквивалентна этой итерированной прямой сумме. Двойственно, проекции щ-(итерированной) прямой суммы порождают коуниверсальную диаграмму. Аксиома, требующая существования конечных прямых сумм, может быть заменена или предположением о существовании универсальной диаграммы для любых двух объектов Ai и Аг, или же двойственным предположением. Во всяком случае, аксиомы аддитивной категории самодвойственны.
Для аддитивной категории 43, horn (А, В) есть бифунктор из категории % в категорию абелевых групп.
Для подготовки к изучению ядер мы сформулируем определения «мономорфности» и «эпиморфности», согласующиеся со стандартными примерами мономорфизмов и эпиморфизмов. В категории множеств функция f, определенная на X со значениями в Y, проективна, если / (X) = Y (f есть отображение «на»), и инъек-тивна, если из f (х) = f (*') всегда следует х = х' (/ — взаимно однозначное отображение «в» Y). В произвольной категории морфизм х: А -+В называют мономорфизмом, если каждое индуцированное им отображение х* : horn (С, A) ->-hom (С, В) инъективно. Таким образом, мономорфность морфизма х означает, что из ха = ха' следует а = а' для всех а, а' : С -*-Л, следовательно, на х можно сокращать слева. В аддитивной категории х — мономорфизм тогда и только тогда, когда из ха = 0 следует а = 0 всякий раз, как определено произведение ха. Двойственно, морфизм сг: В -*• С в произвольной категории называют эпиморфизмом, если каждое индуцированное отображение a*: horn (С, G) -vhom (В, G) инъективно. Таким образом, эпиморфность а означает, что из аа = а'а всегда следует а = а', следовательно, на а можно сокращать справа. В аддитивной категории сг — эпиморфизм тогда и только тогда, когда из аа — 0 всегда следует а = 0. В этой главе мы систематически обозначаем морфизмы, являющиеся мономорфизмами, буквами х, К, fi,, v, а морфизмы, являющиеся эпиморфизмами, буквами р, а, т. Если х и X — мономорфизмы, то и х! — мономорфизм, если произведение определено, и двойственно.
Щ (ai © аг) — а)^1, я2 (aj © а2) = а2я2.
(1.8)
(ai © аг) li — liaj > (<*i © <*г) i2 = 12аг-
(1.9)
§ 1. Аддитивные категории
323
Предостережение: в некоторых аддитивных категориях модулей «мономорфизмы» (в теоретико-категорном смысле.— Прим. перев.) могут не совпадать с мономорфизмами (см. упражение 5), хотя это совпадение имеет место в категории всех модулей со всеми гомоморфизмами в качестве морфизмов.
Эквивалентность — это морфизм 0, обладающий двусторонним обратным г|> (г|>0= 1, 0г|э = 1). Два морфизма а : S -*¦ А и а' : S' -*¦ -*¦ А с общей областью значений называются эквивалентными справа, если существует такая эквивалентность 0 : S ->S\ что а'0 = а; это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, так что допустимо говорить о классах правой эквивалентности морфизмов с областью значений А. Если х — мономорфизм, то и каждый морфизм, эквивалентный справа х, есть мономорфизм. В аддитивной категории всех модулей два мономорфизма с областью значения А эквивалентны справа тогда и только тогда, когда их образы как подмодули модуля А совпадают. Поэтому в произвольной аддитивной категории мы будем говорить, что класс эквивалентности справа мономорфизма х : S —> А есть подобъект объекта А. Удобно говорить, что сам мономорфизм х есть подобъект объекта А, понимая под этим класс эквивалентности справа, els х морфизма х. Заметим, что так определенный «подобъект» не является объектом категории; например, мы не можем рассматривать объект А как подобъект объекта А, а должны вместо этого использовать els 14, который состоит из всех эквивалентностей с областью значений А.
Двойственные определения таковы: а : А -*-Т и а’ : А-*~Т’ эквивалентны слева, если 0а' = а для некоторой эквивалентности 0. Класс эквивалентности слева эпиморфизма о : А -> Т состоит из эпиморфизмов и называется фсисторобъектом объекта А.
В случае модулей ядро К гомоморфизма а: А -*¦ В является наибольшим подмодулем модуля А, который отображается в О при а, и характеризуется тем свойством, что каждый морфизм Р, для которого ар = 0, представим единственным образом в виде произведения Р = хР', где х : К -*¦ А есть вложение. Эта характеристика может быть использована в любой аддитивной категории %: ядро морфизма а : А -*¦ В будет таким мономорфизмом к с областью значений А, что
