Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 134

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 227 >> Следующая

Если П — группа, то каждый П-модуль также является абелевой группой; этим способом задается гомоморфизм категории всех П-модулей в категорию всех абелевых групп. Если Л является алгеброй над основным кольцом К, то каждый Л-модуль является также К-модулем, а каждый Л-бимодуль есть также правый Л-модуль. Если R и S — кольца и R гэ S, то каждый R-модуль является и 5-модулем. В каждом таком случае мы имеем гомоморфизм одной абелевой категории в другую, который естественно приводит к определению «относительных» функторов Ext и Тог; дальнейшие вводные объяснения даны в § 8. В этой главе описывается общий метод, который будет применен в следующей главе к изучению когомологий различных типов алгебраических систем.
§ 1. Аддитивные категории
Сначала рассмотрим категории, в которых некоторые пары морфизмов можно складывать. Аддитивной категорией % называется класс объектов Л, В, С, ... вместе
(i) с семейством попарно непересекающихся абелевых групп horn (Л, В), однозначно сопоставленных каждой упорядоченной паре объектов. Элемент а 6 horn (А, В) мы будем записывать как а: Л В и называть морфизмом категории
320
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
(ii) с гомоморфизмами абелевых групп
hom (В, С) <S> hom (А, В) —> horn [А, С), (1.1)
сопоставленными каждой упорядоченной тройке объектов А, В, С. Образ Р ® а при этом гомоморфизме записыьается как Ра и называется произведением Р и а; •
(iii) с морфизмами 1А : А ->• А, заданными для каждого объекта Л и называемыми единицами соответствующих объектов.
При этом должны быть выполнены следующие четыре аксиомы.
Аксиома ассоциативности. Если а: А—>В, В —» С и у: С —>
-+D, то
У (Р«) = (Y0) «• (1 -2)
Аксиома единицы. Если а : А —> В, то
а1А = а=1ва. (1.3)
Аксиома нуля. Существует такой объект 0', что hom (O', O') является нулевой группой.
Конечные прямые суммы. Для каждой пары объектов и А2 существует такой объект В и такие четыре гомоморфизма, образующие диаграмму
11 12 Ai В А2,
ях Яа
что
JIiIi=1aii Я2^2~^А2> ll3tl + 12я2 — 1 В- (1-4)
Для преодоления затруднений, связанных с основаниями математики, требуются еще две аксиомы теоретико-множественного характера; они будут сформулированы в конце этого параграфа.
Наши аксиомы аналогичны аксиомам категории (1.7). Действительно, аддитивная категория может быть определена как категория с нулем и прямыми суммами, как и выше, в которой каждое множество hom (А, В) имеет структуру абелевой группы, причем дистрибутивные законы
Р (а1 + аг) = Ра1 + Ра2> (Pl + P2)a = Pla + P2a (1-5)
выполнены всякий раз, как обе части равенств определены. (Это означает, что умножение билинейно, что и требуется в (1.1).)
Если не требуется существования прямых сумм, то говорят о предаддитивной категории. Как и в случае категорий, мы можем отбросить объекты и иметь дело только с морфизмами, используя единицы 1А вместо объектов. Тогда аксиомы становятся похожими на аксиомы кольца, в котором операции а! + а2 и Ра не всегда определены, но, будучи определенными, удовлетворяют
§ 1. Аддитивные категории
321
обычным кольцевым аксиомам типа (1.2), (1.3) и (1.5). Так, Хилтон и Ледерман [1958] называют предаддитивную категорию кольцоидом, следуя терминологии Баррата [1954].
Через 0 мы обозначим нулевой элемент любой группы hom (А, В); тогда Оа = 0 = 00 всякий раз, когда указанные произведения определены (доказательство: 0а = (0 + 0) а; далее использовать закон дистрибутивности). Объект 0', у которого группа hom (O', O') нулевая, называется нулевым объектом. В этом случае 10' = 0, и, следовательно, каковы бы ни были объекты А и В, группы hom (А, 0') и hom (O', В) являются нулевыми, а любые два нулевых объекта эквивалентны.
Теперь получим некоторые следствия из аксиомы о конечных прямых суммах. По (1.4)
Jtjlj = Itj (ijJti 12Я2) 1-2 = 1 —J— I2I = Jtjl2 -j- Kjl2,
следовательно, = 0 и я2ц = 0, как обычно. Отсюда вытекают предложения 4.1 —4.5 гл. I; в частности, диаграмма (1.4) определяет объект В с точностью до эквивалентности, и мы обычно такой объект В будем обозначать © А2. Каждый морфизм у : Ai © А2 -*-С определяет пару морфизмов yj = 7^ : А} ->С; соответствие <р (у) = (уи у2) является изоморфизмом
ф : hom (At © Аг, С) ^ hom (Alt С) © hom (Л2, С)
абелевых групп. Обратное отображение задается формулой
Ф"1 (Yi> У 2) = У1я1 + Угп2: А1@А2—>С.
Значит, у = YiJti + 72^2 — единственный морфизм Ai © Аг -у С, удовлетворяющий равенствам yij = yj, j = 1, 2, так что вложения ij-.A) -> Ai © Аг прямой суммы образуют универсальную диаграмму. При этом диаграмма {at : At -> В \ t в Т} морфизмов at
с общим концом, где Т — произвольное множество индексов, называется универсальной, если для каждой диаграммы {7* : At -*¦ ->С | t 6 Т) существует единственный морфизм у : В -*-С, такой, что yat = yt для каждого t. Двойственно, существует изоморфизм
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed