Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 132

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 227 >> Следующая

Пусть теперь А и А' — абелевы группы, Hh [U, Л) — группа когомологий Hh (Нош (К (U), А)). Произведение \J = ю*рн,
Hk (U, А) ® Нт (U, А')
(9.3)
Hk+m (К (U) ® к (U), А®А')Л Hk+m (U, А ® А'),
314
Гл. VIII. Умножения
где рн — когомологическое умножение из (1.3), называется (внешним) симплициальным \J-умножением. Для коцепей Л и Л' это определение прочитывается как (els ft) kj (els ft') — els (ft kj ft'), где
(h\J ft') u = (h® h')fku, (9.4)
а А® А' имеет тот же смысл, что и в (1.4).
’В частности, если U — S (V) есть симплициальное множество, ассоциированное с частично упорядоченным множеством вершин V и / — отображение Александерэ — Уитни, то
(A kj A') (v0, ...,vn) = h (o„, ...,vh)®h' (vh, ..., vn), (9.5)
где A e Hh, ft' € Hn~h.
Если A — А' есть аддитивная группа коммутативного кольца R с умножением я: R ® R —> R, то произведение я* и является отображением
Я* (U, R) ® Нт (U, R) -> Нк+т (?/, R), (9.6)
называемым внутренним симплициальным и-умножением.
Теорема 9.1. Для каждого симплициального множества U и каждого кольца коэффициентов R модули когомологий Hh (Нош (К (U), R)) = Hh (U, R) образуют градуированное кольцо относительно внутреннего симплициального kj-умножения. Если кольцо R коммутативно, то и это кольцо когомологий коммутативно.
Доказательство. Ассоциативность умножения известна. Пополнение е: К (U) —> Z, умноженное на отображение I: Z —> R, дает нульмерный коцикл /е из К (U). Тогда (ft и /е) и = = я (ft <g> I) (1 <g> е) ю«, где я (А ® /) : К ® Z ->¦ R совпадает с А, если К ® Z отождествить с К, а (1 ® е) о> ~ 1.
Следовательно, когомологический класс е коцикла /е играет роль единицы для и-умножения. Аналогично для того, чтобы показать, что и-умножение коммутативно, достаточно установить цепную гомотопию / ~ т/ для обычной перестановки t : Ки® Кт ^ Кт ® Кн¦ Отображения / и т/ тождественны в размерности нуль, и эта гомотопия строится с использованием ацикличных моделей.
Если / — отображение Александера — Уитни, то коцепи сами по себе образуют градуированное кольцо, но это кольцо не коммутативно: коммутативность выполняется только для классов когомологий.
Эта теорема показывает, что сингулярная когомология топологического пространства X с коэффициентами из Z образует коммутативное кольцо относительно и-умножения.
§ 9. Kj-умножения
315
Симплициальное u-умножение применяется также при изучении когомологии группы П. Под П-множеством S подразумевается множество 5 вместе с действием группы П на S-, более формально, это действие задается гомоморфизмом <р : П Aut (S) группы П в группу взаимно однозначных отображений множества 5 на себя. П-множества образуют категорию. Например, возьмем множество Вп (П) всех (я + 1)-наборов (х0, . . ., хп), в котором группа П действует следующим образом: х (х0, ¦ ¦ -, хп) = (хх0, . ¦ ххп). Обычные операторы грани и вырождения
di(xо, ..., хп) = (хо, ..хи . ..,Хп), о<?<«, «>0,
Si (Xq> * • •, Хп) == (Х0, ...» Xi, Xi, . . ., Хп), I П,
являются П-отображениями, так что В (П) есть симплициальное П-множество. Ассоциированная симплициальная абелева группа Fz (В, (П)) является симплициальным П-модулем, а К —
— KFZ (В (П)) является комплексом П-модулей, в котором Кп— свободная абелева группа, порожденная наборами (дг0, . . ., Хп); его граница определяется формулой
П
д (х0, ...» Хп) == ( 1)' (•?()> • • •, Xi, . . . , Хп)•
t=0
Мы снова получили однородное описание IV (5.13) ненормализованной Б-резольвенты Р (П) = KFZ (В (П)), в то время как Kn Fz (В (П)) есть нормализованная Б-резольвента В (П).
Напомним теперь, что групповое кольцо Z (П) есть алгебра Хопфа с коумножением
T|j:Z(n)—>Z(U) ®Z{U), ^(x) = x®x.
При отступлении вдоль соответствующего диагонального отображения П—>ПхП декартово произведение Б(П)XВ (П) двух П-множеств превращается в П-множество. Диагональное отображение со для р (П) = КВ (П) является произведением отображений
со: р (П) Л К (Б (П) х Б (П))Л Ф[Р (П) ® р (П)],
где Д есть П-отображение, / — естественное отображение, перестановочное в силу естественности с действием группы П, так что со есть П-отображение. Следовательно, со является цепным преобразованием комплексов П-модулей. Отсюда следует, что симплициальное и-умножение определяется для двух П-модулей А
316
Гл. VIII. Умножения
и А' как гомоморфизм
u : Нк (П, А) ® Нт (П, Л')-> Hh+m (П, t (А ® А')). (9.7)
Это умножение ассоциативно.
Гомоморфизм а: ^(Л 0 А') А" для П-модулей называется спариванием Л и Л' в Л". Наше u-умножение, помноженное на гомоморфизм, индуцированный спариванием а, порождает «внутреннее» u-умножение, являющееся гомоморфизмом Н (П, Л) 0 ® Я(П,Л')->Я(П,Л*).
Определение и-умножения можно сделать короче, не используя П-множеств, а непосредственно описывая действие этой операции на коцепях. Если huh' — коцепи размерностей k и т соответственно, рассматриваемые как функции от однородных образующих (х0, . . , xh) и (х0, . . , хт) из р (П), то их и-произведение есть коцепь, которая определяется с помощью отображения Александера — Уитни следующей формулой:
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed