Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
з*
36
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
когда кольцо R коммутативно, Нотн {А,В) может рассматриваться не только как группа, но и как R-модуль, если гомоморфизм tf:A-*B, t ? R, /: АВ определить так: (tf) а = t (fa) для любого элемента а 6 А. То, что tf действительно ^-модульный гомоморфизм, следует из равенств
(tf) (га) = t (fra) = tr (fa) = rt (fa) = r [(tf) c],
в которых использована коммутативность кольца R.
Группа Нот встречается часто. Когда R — поле, Нотд (А, В) является векторным пространством всех линейных преобразований векторного пространства А в векторное пространство В. Если G — абелева группа, а Р — факторгруппа аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел, обе рассматриваемые как ^-модули, то Hornz (О, Р) — группа характеров группы G. Если •Ф : R -> Homz (G, G) — кольцевой гомоморфизм, то абелева группа G становится ^-модулем относительно левого умножения rg =
— ф (г) g. Все левые ^-модули могут быть получены таким образом из разных групп G и гомоморфизмов ф.
Рассмотрим действие фиксированного модульного гомоморфизма Р : В -*¦ В” на Нотн (А, В). Для каждого / : А В определено произведение Р/: А В", причем р (/ -f g) — р/ + Pg. Поэтому соответствие / ->- Р/ является гомоморфизмом
Р* : Нотн (А, В) —> Нотн (Л, В') (6.1)
абелевых'г групп, называемым гомоморфизмом, «индуцированным» р. Более точно, Р*/ = Р ° /. Если р — тождественный гомоморфизм,
то и Р* тождественно; если р разлагается в произведение, то и р*
есть соответствующее произведение. Точнее,
(1в)* ~ 1нош(А, В)> (РР')* = P*Pi> (6.2)
причем последнее равенство имеет место всякий раз, когда определено произведение рр\ Можно объединить (6.1) и (6.2) в следующем утверждении: Нотн (А, В) есть «ковариантный функтор» по аргументу В (общее определение дано в § 8).
Для первого аргумента А изменяется направление индуцированного гомоморфизма. При фиксированном модульном гомоморфизме а :А-+А" для каждого f \ А"В определено произведение fa : А В, причем (/' + g') а = f'a+g'a. Следрвательно, отображение a*f = fa задает «индуцированный» гомоморфизм
а* : Ношн (АВ) —> Ношн (А, В) (6.3)
абелевых групп. Вновь (1А)* — тождественное отображение. Если а . а а' : А" -> А", то определено произведение а'а и инду-
§ 6. Функтор Нот
37
цируются отображения
Нотн(Л", В) % Ношд (А', В) Л Нотн (А, В);
можно показать, что а*а'* = (а'а)*. Это обращение порядка множителей обобщает тот факт, что транспонированная матрица произведения двух матриц является произведением транспонированных матриц сомножителей в обратном порядке. Ввиду изменения порядка в произведении, мы будем говорить, что Ношя (А, В) при фиксированном модуле В является контравариантным функтором по аргументу А.
Теперь будем менять и А, и В. При заданных а : А -*¦ А" и Р : В В" для каждого f : А* В определено произведение Р/а : A В"; соответствие f~*~ p/а является гомоморфизмом
Нот (а, Р): Нот (Л\ В) —» Нот (Л, В')
абелевых групп, причем а*Р<! = Нот (а, р) - Р*а*. Этот гомомор-
физм обладает свойствами:
Нот(1, Г) = тождественное отображение;
Нот (аа', рр') = Нот (а', Р) Нот (а, р');
последнее имеет место всякий раз, когда определены произведения аа' и РР'. Мы будем говорить, что Нот является функтором от двух аргументов, контравариантным по первому аргументу и ковариант-ным по второму, из категорий ^-модулей в категорию групп.
Еслиalt а2 : А-*- А’ суть два гомоморфизма, то можно показать,
что
Нот (ctj + а2, Р) = Нот (altp) + Нот (а2, Р). (6.4)
Аналогично Нот (а, р1 + р2) = Нот (a,Pi)-fHom (a,p2). Эти два свойства означают, что Нот —«аддитивный» функтор.
При фиксированном В применим Нот (—, В) к диаграмме прямой суммы (4.1). В результате
Ч 1?
Нот (Л, В) ^ Hom(/4t@42, В) Нот (Л2, В)
я* л*
вложения tj перейдут в проекции if, но ввиду (6.4) по-прежнему выполняются равенства (4.2) для диаграммы прямой суммы. Аналогично при фиксированном А диаграмма прямой суммы модулей В1 и В2 переходит при применении Нот (А, —) в диаграмму прямой суммы (причем вложение перейдет во вложение). Таким образом
Нот (Л4 @ Л2, В) ^ Нот (А, В) © Нот (Л2, В),
Нот(Л, 51©52)^Нот(Л, 5!)@Нот(Л, 52). ^ ^
38
Гл. 1. Модули, диаграммы и функторы
В частности, точна такая последовательность Нот (A, Bi) >* >-» Нот {А, Bi @ В2) Нот (А, В2)-
Теорема 6.1. Для любого модуля D и любой последователь-кости 0А Д» В L, точной в А и В, индуцированная последовательность абелевых групп
О -> Ношд (D, А) Д Нотн (D, В) Д Нотн (D, L) (6.6)
точна.
Доказательство. Чтобы показать мономорфность х*, рассмотрим такой гомоморфизм f : D -*¦ А, что x.J = 0. Для любого элемента d 6 D, njd = xfd = 0; поскольку х — мономорфизм, то все fd = 0 и, значит, / = 0, т. е. х* — мономорфизм. Очевидно, что Р*х* = (Рх)* = 0* = 0, и поэтому Im х* cz Кег р*. Для доказательства обратного включения рассмотрим такой гомоморфизм g : D В, что P*g = 0. Тогда $gd = '0 .для любого элемента d. Но Кег р = хА ввиду точности данной в условии последовательности, поэтому существует единственный элемент а 6 А, для которого ха = = gd. Отображение fd = а определяет такой гомоморфизм /: D А, что х*/ = g. Следовательно, Imx* zd Кег р#, чем и заканчивается доказательство точности последовательности (6.6).
