Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
d — do—di+ ... + (— I)9 dq: Kq —> Kq-u (5.13)
Из равенства (5.6) для didj следует, что dd = 0. Это позволяет говорить о модулях гомологий и когомологий симплициального модуля 5, понимая под этим соответствующие модули ассоциированного цепного комплекса К (S). Для топологического пространства X формула (5.13) дает обычный дифференциал д в сингулярном комплексе 5 (X). Более формально, X определяет симплициальное множество 5 (X), описанное выше, значит, определяет симплициальную абелеву группу FZS (X) и, следовательно, цепной комплекс KFZS (X) с граничным гомоморфизмом д\ этот комплекс есть обычный сингулярный комплекс S (X).
Симплициальный модуль S над кольцом R называется пополненным, если существует такой модульный гомоморфизм е: S0->- Rr что sd0 = edi: Si ->¦ R; ассоциированный цепной комплекс оказывается тогда пополненным отображением е.
Замечания. Симплициальные множества под названием полных полусимплициальных комплексов появились в исследованиях Эйленберга и Зильбера [1950, 1953] о сингулярных гомологиях пространств и их декартовых произведений. Симплициальные абелевы группы под названием FD-комплексов (F — от слова «face», D — от «degeneracy») появились одновременно в анализе Эйленберга и Маклейна [1953] пространств К (П, п) с одной нетривиальной гомотопической группой П в размерности п. Симплициаль-ные множества, удовлетворяющие дополнительному «условию Кана», и симплициальные (мультипликативные) группы, как было показано впоследствии, дают возможность для алгебраической формулировки теории гомо-топии, см. Кан [1958Ь]. Теорема о нормализации из следующего параграфа и ее доказательство принадлежат Эйлёнбергу й Маклейну [1947]. Каждый симплициальный модуль определяется своим нормализованным цепным комплексом; этим устанавливается эквивалентность между категориями симплициальных модулей и (положительных) цепных комплексов модулей (Дольд [1958]).
§ 6. Нормализация
303
§ 6. Нормализация
Пусть S — симплициальный модуль. Для каждой размерности п определим (DS)n как подмодуль модуля 5„, порожденный всеми вырожденными элементами, т. е. (DS)0 = 0 и
(DS)n SoSn~i kj ... kj Sn-jiSn-i» ti ^ 0.
В силу равенств (5.8) для dtSj, DS замкнут относительно д, так что определен подкомплекс ассоциированного цепного комплекса KS объекта 5. Фактор комплекс KS/DS — KNS известен как нормализованный цепной комплекс симплициального модуля 5.
Теорема 6.1. (Теорема о нормализации.) Для каждого симплициального модуля S каноническая проекция я: KS -*¦ K^S = = KS/DS является цепной эквивалентностью.
Для доказательства мы интерпретируем операторы вырождения st как гомотопию. Пусть для каждого неотрицательного k DhS — градуированный подмодуль модуля S, порожденный всеми вырожденными элементами s,a при k, т. е. положим
/Г> I—11 • • • ^ Sn—iSn-i> П 1
(UhO)n — j
[ s0Sn-i u ... USftSn-i, n—\>k.
Ввиду (5.8) каждый подмодуль DhS является подкомплексом, а DS есть объединение всех DhS. Определим отображение th : S -*¦
S степени 1 равенствами
( —1 )ksha, k < dim a, a?S,
0, ft > dim a, a?S,
t ka-
li положим A* = 1 — dth — hd. В силу определения hh : К (S) -> -*• К (S) есть цепное преобразование, а 4: 1 — hk — цепная гомотопия. Поскольку thS cz D и dD* с: Dk, то
A*a = a (modDS), a?S. (6.1)
Более того, мы утверждаем, что
hkDhS cz. Dh-iS, fihDjSczDjS, jck. (6.2)
Поскольку ShSj — sjSk-i no (5.10), второе включение очевидно. Что же касается первого включения, то равенства (5.8) для < dim a, a 6 S дают
dithSha —
'(—lfsft-jSft-idsa, i < k,
(—1 )ksha, i = k, ft + 1, fc + 2,
(— \)h shshdt-za, i>k + 2,
304
Гл. VIII. Умножения
в то время как при &>dim а (5.8) и (5.10) дают
( (— l)hsh-iSk-idta, i<k,
(—l)ftsha, i = k, fe + 1,
{ (— l)ftsftsftdi-ia, i>k +1.
Эти соотношения показывают, что (dth + thd) ska = sha (mod Dk-iS) при k < dim a, где d = 2 (—l)ldi, откуда вытекает первое из включений (6.2). В частности, hoDQS = 0.
Теперь положим h = h0hi. . .hn. . . . Поскольку h^a = а при k > dim a, это произведение является конечным в каждой размерности и определяет цепное преобразование h: KS ->¦ KS. Ввиду
(6.1), hhDS cz DS, а итерация сравнения (6.1) показывает, что
ha ~= a(modDS). (6.3)
По (6.2), hDS = 0. Так как каждое отображение Л* цепно гомотопно 1, то существует производная гомотопия t : 1 ~ h. Ввиду того что hD = 0, формула g [а 4- DS) = ha определяет цепное преобразование g: KS/DS KS; по (6.3), ng= 1, где я — проекция KS KS/DS. Более того, произведение gn = h: KS KS цепно гомотопно 1 по построению, так что л — цепная эквивалентность, что и утверждалось.
[ § 7. Ацикличные модели
В следующем параграфе при изучении умножений в симпли-циальных модулях будут использованы ацикличные модели; сейчас мы проведем необходимую подготовку для симплициальных модулей над некоторым фиксированным кольцом R.
