Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 125

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 227 >> Следующая

Extv (С, eN) ® Extv (гМ\ А') Exty (С ® М', N® А')
не зависят от диагонального отображения г|з, т. е. зависят только от V как пополненной алгебры е : V К.
298
Гл. VIII. Умножения
Доказательство. Указанные V-умножения по-прежнему определяются в терминах умножения длинных точных последовательностей формулами (4.2), причем модули в этих длинных точных последовательностях превращены в F-модули отступлением вдоль г|э. В предыдущей лемме утверждается, что результирующая V-модульная структура не зависит от i|>.
Пусть, в частности, все рассматриваемые модули совпадают с еК; тогда К <g) К — К и внешнее \/'Умножение становится внутренним умножением
Extv (К, К) <g> Extv (К, К) -> Extv (К, К), (4.7)
которое превращает Extv (К, К) в градуированную К-алгебру. Поскольку о (g) К = о, формула (4.4) показывает, что эта алгебра коммутативна.
Замечание. Внешнее умножение для Тог возникает из внутренней четверной перестановки н совпадает с этим отображением для Тог0 = ®; оно может быть получено, как в (2.5), с помощью замены подходящих аргументов резольвентами, перемножением с гомологическим умножением и срав* неиием резольвент. Внешнее умножение для Ext возникает аналогичным образом из Нот- 0 -перестановки. Различные другие «умножения», включающие Тог и Ext, получаются при помощи того же механизма из тождеств для Нот и ®; например, существует умножение, появляющееся из смешанной сопряженной ассоциативности
Нот (А ® А', Нот (С, С')) -> Нот (С ® А, Нот (А’, С')).
Эти }\«ножения детально описаны с помощью резольвент Картаном и Эйленбергом, гл. XI. Было бы интересно получить их описание в терминах инвариантного определения Тог и Ext. Другие типы умножений появятся позднее в гл. X.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать, как внешнее умножение в Ext коммутирует со связывающими гомоморфизмами.
В следующих упражнениях К — коммутативное кольцо, но не обязательно поле.
2. Пусть Р и Р' — проективные Л- и Л'-модули соответственно. Показать, что Р 0 Р' — проективный (Л ® Л')-модуль. Показать, что если Л и Л' проективны как К-модули, то Р ® Р' — проективный К-модуль.
3. Показать, что \/'Умножение для кольца К можно определить, используя проективные резольвенты, при условии, что алгебры Л и Л' проективны как К-модули и TorJ^ (С, С') = 0 для п>0. Если дополнительно А и А — плоские К-модули, то показать также, что теорема 4.1 все еще остается верной.
§ 5. Симплициальные объекты
Когомология Н (X, Z) топологического пространства X с коэффициентами в Z образует градуированное кольцо относительно умножения, известного как умножение Колмогорова — Алексан-
§ 5. Симплициальные объекты
299
дера или и-умножение. Это умножение может быть определено не только для пространств, но и для других комплексов с «сим-плициальной» структурой. Поэтому мы теперь проанализируем комбинаторную структуру симплекса или, точнее, р-мерного симплекса Др с упорядоченными вершинами.
Пусть для каждого неотрицательного целого числа р символ [р ] обозначает множество {0, 1, . . , р} целых чисел с их обычным порядком. (Слабо) монотонное отображение (х: [9]-»- \р\ является такой функцией из [9] в [р], что из ?</ следует |ii< (х/. Объекты [р ] вместе со всеми сйабо монотонными отображениями fi в качестве морфизмов образуют категорию <М (от слова «монотонный»). Отметим, что монотонная функция [х определяется последовательностью из q + 1 чисел fx0<fii<. . .<fx9 из \р], где ц0 = = |х0, . . .; следовательно, мы можем рассматривать (х как аффинный симплекс (fx0, • • •. Цд), определенный вершинами (хг на стандартном р-мерном симплексе Ар.
Пусть % — произвольная категория. Контравариантный функтор S : <М -*¦ $ будет называться симплициальным объектом в %. В нашем случае это значит, что <S ставит в соответствие каждому неотрицательному целому числу q (каждому объекту из оМ) объект Sq из % и каждому монотонному отображению |х: [9]-»- [р] морфизм |х* = S (|i): Sp-*~Sq из %, причем 5 (1) = 1 и S (fxv) = ~ S (v) S (р.). Под симплициальным множеством будет пониматься симплициальный объект в категории множеств; под симплициальным A-модулем будет пониматься симплициальный объект в категории всех А-модулей.
Если F: -*¦ 3S есть ковариантный функтор, то каждый сим-
плициальный объект 5 из % определяет симплициальный объект FS в 3), причем (FS)q = F (Sq), FS (fx) = F (S|x). В частности, если Л — алгебра, а Рл — функтор, который сопоставляет каждому множеству У свободный (левый) Л-модуль с образующими У, то каждое симплициальное множество S определяет симплициальный Л-модуль FAS.
Сингулярные симплексы (11.7) топологического пространства X образуют симплициальное множество 3 (X). Подробнее, пусть Sp (X) — множество всех сингулярных р-мерных симплексов Т пространства X; каждый симплекс Т — это непрерывное отображение Т : Ар X, заданное на стандартном аффинном р-мерном симплексе Ар. Тогда каждое монотонное отображение fx: [</] -*¦
1р] определяет единственное аффинное отображение fx: А*
-*¦ Ар, переводящее вершину i симплекса А9 в вершину (хг симплекса Ар; произведение \i*T = Т(х : А® -> X определяет отображение fi* = S (ц) : Sp (X) -*¦ Sq (X), которое превращает 3 в функтор на категории <М и, значит, в симплициальное множество. Для
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed