Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 124

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 227 >> Следующая

II 1.6.4. Комплекс X ® X' является первой строкой диаграммы
(X ® X')m+1 X (X ® Х')т Л (X ® Х')т-1 Л (X ® X')„,_»
1 11 1 Xj ® Хщ —> Хо ® Хт —> Хо ® Хт—1 —> Хо ® Хт—2
flj ® Л' —> Во ® Л —> С ® Вт—1 —> С ® Вт—2i
N /
С® Л'
которая тем же способом распространяется вправо и влево и оканчивается справа столбцом С ® С\ Верхний ряд вертикальных отображений проектирует каждый модуль (X ® Х')„ на его отмеченное прямое слагаемое. Нижняя строка есть произведение Т =. (5 ® Л') о (С ® S') длинных последовательностей, причем отмечено их соединение в С® Л'. Верхние квадраты не коммутативны, но если стереть среднюю строку, то получающаяся диаграмма становится коммутативной даже в месте соединения. Следовательно, сквозное вертикальное отображение — это цепное преобразование h. : X ® X' Т, которое накрывает единицу модуля С ® С'. Для нахождения класса когомологий в X ® X', соответствующего Т, возьмем преобразование h в размерности k + m.
296
Гл. VIII. Умножения
Здесь h равно произведению
(X ® Х%+т ->Xk®X'm А ® А';
когомологический класс этого коцикла совпадает с когомологическим классом, отвечающим els fh ® els f'm при когомологическом умножении рн. Поскольку классы els fh и els f'm представляют S и S’ соответственно, то тем самым доказано первое равенство теоремы при > 0 и m > 0. В доказательстве для k = 0 (или т = 0) используется аналогичная диаграмма, в которой соединение последовательностей заменено действием гомоморфизма (т: С А на
последовательность.
Второе равенство в (4.2) — это правило (анти)коммутативности. Оно непосредственно следует из определений, если k = 0 или т = 0.
Поскольку любая длинная точная последовательность является произведением коротких, достаточно дать доказательство для случая k — т = 1, т. е. для коротких точных последовательностей Е и Е’. Но в этом случае имеем коммутативную диаграмму
А ® Е': А ® А' -> А ® В' А ® С'
В ® : В ® А' —> В ® В' —> В ® С' (4.3)
4 1 1
С ® Е’:С ® А' С ® В' С ® С’,
и в силу леммы 3.1, (Л ® Е') о (Е ® С') = — (? ® Л') о (С ® ?')• А это и есть требуемое равенство.
Из этой теоремы снова вытекает, что V -умножение ассоциативно.
Теорема 4.2. Если К-алгебры А и А' свободны как К-модули, а А- (А')-модули С, А, С\ А' являются плоскими К-модулями, то определено \/ -умножение (4.1). Оно может быть выражено формулой (4.2).
Доказательство. Предположения теоремы дают нам условия указанного выше случая 2. Можно применить предыдущее доказательство, так как X ® X* есть резольвента, а тензорное произведение 5 ® КЛ' длинной точной последовательности 5 и К-плоского модуля А" является по-прежнему точной последовательностью.
Следствие 4.3. Если А и А' — пополненные К-алгебры, которые являются свободными К-модулями, то V-произведение элементов а 6 ExtA (К, К) и а" ? Ext™ (К, К) задается формулой
а\/а' = efO о е(т' = ( — l)fem еа' о Ext?+m (К, К). (4.4)
§ 4. Внешние умножения для Ext
297
Здесь К рассматривается как Л- или Л'-модуль, полученный отступлением вдоль пополнений е: Л К и е\ а есть сокращение для (1 ® е')*ст, т. е. это короткая точная последовательность из ст, члены которой превращены в Л® Л'-модули отступлением вдоль 1(g)е': Л ® Л' Л ® К = Л.
Пусть теперь V есть алгебра Хопфа с коединицей е: V ->¦ К и диагональным отображением г|э: V V ® V. Отступление вдоль г|; превращает (V ® У)-модули в У-модули, переводит точные последовательности в точные последовательности, и определяет таким образом отображение замены колец г|)#: Extyg, у Exty. Если С, А, С' и А’ — левые ^-модули, то V-модулями являются также модули ф(С®С') и ф(Л®Л'), а произведение г|з#\/ отступления и V-умножения является К-модульным гомоморфизмом
i|># V : Ext* (С, А) ® Ext* (С\ А') -* Ext*+m (» (С ® С'), *(А ® Л')),
(4.5)
называемым V -умножением Хопфа. Оно определено, если К — поле или если С — плоский К-модуль, а V — свободный К-модуль. При этом справедливы аналоги теорем 4.1 и 4.2. Поскольку г|з ассоциативно, ассоциативно и это умножение.
, Путем отступления каждый К-модуль становится У-модулем еМ-
Лемма 4.4. Для К-модуля М и модуля С над алгеброй Хрпфа
V изоморфизмы
^(еМ ® С) s* М ® С, ф(С® еМ)^С® М (4.6)
являются изоморфизмами V-модулей, причем V-модульная структура в М®С и С® М индуцируется V-модульной структурой в С.
Доказательство. Алгебра Хопфа, будучи коалгеброй, удовлетворяет тождеству (е®1) г|э = 1 из VI (9.1). Поэтому
*[еМ ® С] = ф[(е®1)(М ® С)] = (е®1)\|)(М ® С) = М ® С,
и с другой стороны получается аналогично. Отсюда вытекает любопытный результат.
Предложение 4.5. Если V — алгебра Хопфа над полем К, М и N являются К-модулями, а С, А являются V-модулями, то V -умножения Хопфа
Extv (rM, А) ® Extv (С\ eN') —> Extv (М ® С', А ® N'),
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed