Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 3.2. Для правых R-модулей A cz В, левых R-модулей A' cz В'
{В!А) ® л (В'/А') е* [В ®в В'\Цim (A ®RB')\J im (В ®R А')]. (3.3)
Доказательство. Первым здесь указан образ отображения A ® В" -+¦ В ® В'. Это отображение вместе с симметричным отображением порождает точную последовательность
А ® л В' © В ® л А’ В ® л В' —> (В/А) ®в (В’/А') 0.
Эта последовательность может быть получена также из диаграммы, сходной с диаграммой (3.1) (см. ниже упражнение 2) с первой строкой А®А', А®В', А® (В'/А').
УПРАЖНЕНИЯ
1. Предположив только, что в (3.1) строки и столбцы являются точными справа последовательностями, а третья строка и третий столбец — короткими точными последовательностями, доказать, что диаграмма (3.2) коммутативна и имеет точные строки, если нули слева опустить.
2. Доказать лемму 3.1 с помощью диаграммы, подобной диаграмме (3.2), в которой направления вертикальных стрелок заменены на противоположные, а средней строкой служит последовательность А’ >-> В’ ф А -*¦ В -» С".
§ 4. Внешние умножения для Ext
Умножение длинных точных последовательностей порождает внешнее умножение в Ext. Для одного Л-модуля А умножение является гомоморфизмом
Ext* (А, А) ® Ext™ (А, А) -> Ext*+m (А, А).
По теореме II 1.5.3 оно превращает ExtA (А, А) в градуированное кольцо; на самом деле (в силу теоремы VI 1.3.1) оно оказывается градуированной К-алгеброй. В этой алгебре элементы степени нуль образуют К-алгебру Л-модульных эндоморфизмов модуля А. Далее мы опишем, как это умножение можно иногда получить из когомологического умножения для резольвент.
Пусть Л и Л' — алгебры над коммутативным кольцом К, С и А — левые Л-модули, С' и А'—левые Л'-модули. Обозначим через Q тензорное произведение Л®Л', где ®—сокращение для ®к. Заметим, что С ® С' и А ® А' — левые Q-модули. Мы хотим определить К-модульный гомоморфизм
V : Ext* (С, А) ® Ext™ (С', А') Ext?+™ (С ®С', А® А’), (4.1)
294
Гл. VIII. Умножения
называемый внешним или \J -умножением; если ст ? ExtA и ст' 6 ExtA-, то мы будем писать ст V ст' вместо у (ст® ст'). Возьмем свободные резольвенты Л- и Л'-модулей е: а С и е': X" ->- С' соответственно. Когомологическое умножение (1.3) — это отображение
рн: Hh (Нотл (X, А)) ® Нт (НотЛ' (X', А'))
Hk+m (Нота (X ® X', Л ® Л')).
Вместе с каноническими изоморфизмами ExtA (С, Л) as а* ЯА (Нотл (X, Л)) оно будет определять нужное внешнее умножение (4.1) при условии, что (е ® е'): X ® X' ->• С ® С' есть свободная Q-модульная резольвента, поскольку' стереотипные рассуждения, использующие теорему сравнения, показывают, что результат не зависит от выбора резольвент. Во всяком случае, каждый модуль X* ® Х'т является свободным левым Q-модулем. То условие, что X ® X" — резольвента, выполняется в двух случаях.
Случай 1. К — поле. По тензорной формуле Кюннета, справедливой для поля К, Нп (Х®Х') = 0 при всех п > О и е ® е': Н0 (X ® X') С ® С', так что X ® X' — резольвента.
Случай 2. Л и Л' свободны как К-модули, а С — плоский К-модуль. В этом случае каждый свободный Л-модуль Хп является прямой суммой копий свободного К-модуля Л, так что Хп — свободный К-модуль. Тогда X ->¦ С есть также свободная К-модуль-ная резольвента модуля С, и поэтому Тог* (С, С') можно вычислить (по теореме V.9.3) с помощью X и X' как Нп (X ® X'). Но модуль С плоский, и поэтому Тог„ (С, —) = 0 при п > 0 и, значит, X ® X' С ® С' есть резольвента.
Другие случаи встретятся в упражнениях и в последующем изучении относительных функторов Ext (гл. X). Из определения следует, что V -умножение перестановочно со связывающими гомоморфизмами и ассоциативно; при k = т = 0 оно сводится к Нот-®-перестановке.
В случае 1 \/‘Умножение можно выразить через умножение Ионеды.
Т.е о р е м а 4.1. (Ионеда [1958].) Для алгебр А и А" над полем и для элементов а в Ext^ (С, Л), ст' 6 Ext™ (С', Л')» V-произведение определяется формулой
стуст' = (ст ® Л') о (С ® ст') = (— l)ftm [(А ® ст') о (ст ® С')]. (4.2)
В этом выражении ст ® Л' имеет следующий смысл. Если k — 0, то ст — гомоморфизм С-»-Л; пусть ст ® Л' означает
§ 4. Внешние умножения для Ext
295
ст ® 1А' : С® А" A ® А". При k>0 и т > 0, ст и ст* — классы конгруэнтности длинных точных последовательностей
5;0 —> А —> Bk-i —^ • • • —^ Во —> С —> О,
5' :0-^ A'->B'n-i-*---------
Поскольку К—поле, функтор ®к сохраняет точность, и поэтому имеются длинные точные последовательности
S ® А': 0 —» А ® А' —> В^ ® А' ->--------> С ® А' -> 0;
С ® S': 0 -> С ® А' -» С ® 5m_i —» • • • -> С ® С' -» 0.
Положим ст ® Л' = els (S ® Л') и С ® ст' = els (С ® 5'); тогда произведение Ионеды (ст ® А*)°(С ® ст') определено; при k = О или т = 0 это будет обычное произведение гомоморфизма и длинной точной последовательности.
Доказательство. Сначала предположим, что k > О и т > 0. Рассмотрим 5 как резольвенту модуля С; по теореме сравнения можно накрыть 1 с цепным преобразованием /: X S. Аналогично 1С> накрывается f" : X” S'; в частности, f'm: Х'т -*¦ ->¦ Л' является коциклом в Нош (X', Л') и его класс представляет els S' при изоморфизме Нт (Х\ Л') ^ Ext7" (С', Л') теоремы
