Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Мы установим, как можно вычислить это умножение с помощью подходящей резольвенты алгебры Л.
Следствие 2.3. Если U есть DG-алгебра, а е : U А такой гомоморфизм DG-алгебр, что алгебра U, рассматриваемая как комплекс, является: проективной резольвентой К-моду ля А, то канонический модульный изоморфизм со: Тог (Л, Т)^Н (U ® Г), который определяет периодические произведения с помощью этой резольвенты, есть также изоморфизм градуированных алгебр.
Доказательство. В нашем случае U ® Г, будучи тензорным произведением DG-алгебры U и тривиальной DG-алгебры Г, является DG-алгеброй, так что Н (U ® Г) действительно есть градуированная алгебра. Положим В = В" = Л в теореме 2.1. Тогда обе резольвенты X и X' мы можем положить равными резольвенте U, в. качестве Y взять произвольную проективную резоль-
§ 2. Периодическое произведение алгебр
291
венту для Л ® Л. Накроем 1 и л цепными преобразованиями / и g, как показано в диаграмме
U&U-U Y Ли
1 1 ¦i
л ® л = л^лДл.
Тогда Тог (л, р) — отображение групп гомологий, индуцированное гомоморфизмом ?г®р:К®Г®Г->?/®Г. Поэтому умножение в Тог (Л, Г) равно (g ® р)*/*ря> как показывает диаграмма
Я (U ® Г) <8) Я (V ® Г) —Я(1/®1/®Г®Г)Д-Я(У®Г®Г)
я (и ® г ® г) я (г/ ® Г).
Но умножения лу : /7 ® U -*¦ U и gf \U ® U U являются цепными преобразованиями резольвент, накрывающими отображение я: Л ® Л —> Л и, следовательно, гомотопны по теореме сравнения. Поэтому приведенная выше диаграмма групп гомологий коммутативна, так что умножение в Тог (Л, Г) определяется как (яу ® р)трн. Но это выражение в точности совпадает с внутренним умножением в градуированной алгебре Я (?/® Г).
Для полиномиальной алгебры Р мы уже отмечали в теореме VI 1.2.2, что градуированная алгебра Тогр (К, К) является внешней алгеброй над Р; в доказательстве использовался тот факт, что резольвента Косуля для К есть DG-алгебра. В действительности любая алгебра Л имеет проективную резольвенту, являющуюся DG-алгеброй U (упражнение 2).
Наше определение произведения (2.3) является новым, но внешнее умножение рт, которое оно определяет, совпадает с умножением m , определенным Картаном и Эйленбергом (гл. XI.4). Их определение использует резольвенты А и А', но это не необходимо (упражнение 3).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть U — DG-aлгебра, А — К-модуль и ф : А -*¦ Un — такой модульный гомоморфизм, что дпср = 0. Показать, что градуированная алгебра U ® Т (А) имеет единственную DG-структуру, при которой д | U = = ди, д | А = ф и А степени п + 1.
2. Для произвольной К-алгебры А построить DG-алгебру U и такой гомоморфизм е: U -*¦ Л градуированных алгебр, чтобы, как и в следствии 2.3, U была проективной резольвентой Л как К-модуля. Указание: используя упражнение 1, построить ?>0-алгебру U<n) рекурсивно по п так, чтобы она была проективной резольвентой до размерности п.
3. Описать внешнее умножение в Тог (В, А), используя резольвенты для В и А или только для А.
19*
292
Гл. VIII. Умножения
4. Показать, что формула (2.3) определяет для К-алгебр Л и Л' и модулей ВЛ>, В'А, аА,а-А’ внешнее умножение
Тогл (В, А) ® Тогл' (В', А') -> Тогл®л' (В <g)В',А® А').
Описать его свойства и показать, что оно коммутирует со всеми четырьмя связывающими гомоморфизмами. Это умножение есть умножение Т Картана и Эйленберга, XI.1.
§ 3. Диаграммная лемма
В следующем параграфе нам понадобится следующее антиком-мутативное правило сплетения точных последовательностей.
Лемма 3.1. (3x3 сплетение.) Если в коммутативной 3x3 диаграмме модулей столбцами являются короткие точные последовательности Е', Е, и Е", а строками — короткие точные последовательности ЕА, Ев и Ес, то
ЕаоЕ№ = -Е'оЕс.
Доказательство. Данная 3x3 диаграмма имеет вид
Еа : А' -» А -> А"
¦I 11'
ЕВ:В'->ВЛВ" (3.1)
1 1а Iх
ЕС:С'->СЛ С (нули на концах не указаны). Построим диаграмму
О А' —» А —> В" —> С" —> О
II 1 1* „ IH
0-> А'-*вЛ С@В" Хс-^0 (3.2)
II t t* II
о _> А' -> В' -> С —»• С" —> О,
в которой фЬ = (ab, рб) и 'ф (с, Ь") = ус — тЬ" (обратить внимание на знак), а стрелки без обозначений соответствуют отображениям или произведениям отображений из диаграммы (3.1). Построенная диаграмма коммутативна; диаграммный поиск показывает, что средняя строка точна. Верхняя строка есть произведение ЕА° Е"; вертикальные отображения, включая —1С" : С" ->-
С" справа, устанавливают конгруэнтность этого произведения
со строкой, противоположной средней строке, которая в свою очередь оказывается конгруэнтной нижней строке Е* ° Ес. Тем самым установлен нужный результат.
§ 4. Внешние умножения для Ext
293
Близким и часто используемым результатом является
