Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
из VI (8.4) может рассматриваться как внешнее умножение для функтора (8)- Напомним, что теорема V.7.3 устанавливает изоморфизм tj: Тог0 (В, Л) а* В ® А; элементы из Тог0 записаны как тройки t = (jx, F, v), где F — конечно порожденный свободный модуль с дуальным модулем F*, а p.: F В, v: F* Л суть гомоморфизмы. Используя этот изоморфизм т}, внутренней четверной перестановке можно придать вид
t[(fi, F, v)®(n\ F’, v')] = (n®|i', F®F', v ® v'). (2.2)
Здесь v <S> v' F* <S> F'* -*-A <S> А', но мы можем рассматривать v (8) v' как отображение, определенное на (F <g> F')*, используя отождествление F* ® F'* — (F <g> F')*, устанавливаемое изоморфизмом из предложения V.4.3 [случайно это отождествление оказывается совместным с отождествлением (F ® F’) ® F" = =F (g) (F' ® F")]. Формула (2.2) будет распространена на более высокие периодические произведения.
Элемент из Тог* (В, А) записывался как тройка t = (ц, L, v), где L — конечно порожденный свободный- комплекс длины k, a fi:L-*-B, v : L* —Л являются цепными преобразованиями. Если дан второй элемент t' ? Torm (В', Л'), то можно определить произведение
(jx, L, v) (fi', L', v') = (fi <g> fi', L (g> L\ v ® v'). (2.3)
Здесь L<S)L' — конечно порожденный свободный комплекс длины k + т, a v ® v' — цепное преобразование L*®L’* = (L ® L')* —> -*• Л (g) Л'. Это произведение корректно определено относительно соотношений, использованных при определении элементов Тогп, и естественно по своим четырем аргументам. Это произведение it' билинейно; мы избежим прямого доказательства с помощью сложения, определенного в Тог, используя резольвенты так, как показано в следующей теореме:
§ 2. Периодическое произведение алгебр
289
Теорема 2.1. Для четырех К-модулей В, А, В', А' умножение, определенное формулой (2.3), является гомоморфизмом
Рт- Тог* (В, А) <g> Torm (В', А’) -> Tor*+m (В ®В', А <g> А'). (2.4)
Он может быть вычислен с помощью проективных резольвент г: X -> В, е': X' В' и е" : Y ->Б ® В' как произведение отображений
Н(Х®А)®Н(Х'®А’)РЛН(Х®Х'®А®А')ЛН(У®А®А'),
где рн — внешнее гомологическое умножение (1.2), причем X играет роль G, а /: X (g) X' -*¦ Y есть цепное преобразование, накрывающее 1 В®В'-
Доказательство. Тензорное произведение свободных или проективных К-модулей свободно или проективно соответственно, так что е (g) е': X (g) X' ->¦ В (g) В' — проективный комплекс над В ® В'. По теореме сравнения существует отображение /, накрывающее 1, а индуцированное отображение /* групп гомологий единственно. Вычисление Тог (Б, Л) через резольвенту X проводится с помощью изоморфизма со: Тог (В, А) ^ ^ Н (X (g) А) из теоремы V.8.I. Пусть со' и со" — изоморфизмы, аналогичные со. Утверждение, что рг можно вычислить как произведение /*рн, означает, что
со" (//') = /*рн (со/ (g) со'/'). (2.5)
Поскольку со": Тог (В <?> В', A <g> А’) ^ Н (Y (g) A (g) А') есть изоморфизм, это равенство также показывает билинейность произведения //' и, следовательно, доказывает, что рТ из (2.4) также гомоморфизм.
Для доказательства (2.5) напомним, что со определяется следующим образом: тройку / — (p., L, v) рассматриваем как свободный комплекс ц: L-y В длины k над В и цикл (1, L*, v) 6 Lh (g) А,
1 в накрываем цепным преобразованием h: L-> X и полагаем со/ = (h, (g) 1)* els (1, Lh, v). Ho //' записывается соответственно как свободный комплекс p. (g> p.': L ® L' -*¦ В (g) В' и цикл (1, Lh (g> L’m, v ® v'). Этот цикл является гомологическим произведением хр [(1, Lh, v) (g) (1, L’m, v')], а преобразование / (h (g) h') : L (g> V -> Y накрывает 1 в®в'- Следовательно,
®'(tt') = f*(h <g> h' (g) 1 (g) 1)*pH{els(1, Lh, v)<g>cls(l, L‘m, v')},
так что (2.5) есть следствие естественности гомологического умножения рн относительно цепных преобразований h и h'.
19—353
290
Гл. VIII. Умножения
Пусть Л и Г—две К-алгебры; я: Л ® Л-*-Л и р: Г ® Г-»--+¦ Г являются их отображениями умножения. Гомоморфизм
(Л ® Г) ® (Л ® Г) —(Л ® Л) ® (Г ® Г) Л ® Г
задает умножение в алгебре Л® Г. Другими словами, внутреннее умножение в тензорном произведении А® Г алгебр получается из внешнего умножения т модулей.
Это внутреннее умножение будет теперь определено для
Тог (А, Г).
Теорема 2.2. Для К-алгебр А и Г семейство {Torjf (Л, Г)} является градуированной К-алгеброй Тогк (Л, Г), в которой элементы степени нуль образуют тензорное произведение А ® Г алгебр. Произведение двух элементов t = (ц, L, v) и t' = = (|i/, L', v') определяется формулой
(ц, U v) (ц\ L', v') = (я (ц ® ц'), L ® L', р (v ® v')), (2.6)
в которой пир — отображения умножения алгебр А и Т.
Доказательство. Внутреннее умножение (2.6) равно произведению [Тог (я, р)] рТ, где рт — внешнее умножение. По теореме 2.1 произведение tt' билинейно; оно, очевидно, ассоциативно. Единичные элементы алгебр Л и Г представляются К-модульными гомоморфизмами /: К Л, К -»- Г, .а еди-
ничный элемент 1д ® 1г алгебры Л ® Г появляется при изоморфизме г] : Тог о (Л, Г)^Л® Г в виде тройки 1Г = (/, К, /') из Того, где К рассматривается как свободный К-модуль с одним образующим. Формула (2.6) показывает, что 1 Tt — t = t\T. Следовательно, Тог (Л, Г) — это градуированная алгебра, что и утверждалось.
