Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.1. Модуль F является свободным относительно подмножества Т cr F в том и только в том случае, когда для любого модуля А и любого отображения g множества Т в А существует такой единственный модульный гомоморфизм ц : F А, что F (0 = § (0 для каждого t ? Т.
Ввиду изоморфизма между внешними и внутренними прямыми суммами справедливо
Предложение 5.2. Модуль F тогда и только тогда свободен относительно подмножества Т cz F, когда каждый элемент из F может быть единственным образом ' представлен в виде суммы Zrtt с коэффициентами rt 6 R, которые почти все равны нулю (т. е. равны нулю все, кроме конечного числа).
Модуль F, свободный относительно множества Т, определяется множеством Т с точностью до изоморфизма. При заданных кольце R и множестве Т мы можем построить ^-модуль, свободный относительно Т, как прямую сумму F = 2tRt, где Rt есть
3—353
34
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
множество всех одночленов rt, г 6 R, с очевидной модульной структурой.
Левый модуль А порожден подмножеством U своих элементов,, если А является единственным своим подмодулем, содержащим все элементы и ? U, т. е. если каждый элемент из А записывается в виде конечной суммы 2ггИг с коэффициентами rf ? R. Модуль^ свободный относительно Т, порожден Т.
Предложение 5.3. Каждый R-модуль изоморфен фактор-модулю свободного' модуля.
Доказательство. В данном модуле А выберем подмножество U, порождающее А (например, положим U = А). Построим модуль F, свободный относительно множества U, и рассмотрим такой гомоморфизм fi: F -*¦ А, что ц (и) = и 6 А. Поскольку множество U порождает модуль А, то ц — эпиморфизм и поэтому А ~ ?5 ^/(Кег ц). ‘
Модуль А конечно порожден (или конечного типа), если он порождается конечным подмножеством, т. е. если он изоморфен фактормодулю конечной прямой суммы R © . . . © R. Модуль С циклический, если он порождается одним элементом; в этом случае С s* R/L, где L — подмодуль модуля R (т. е. L — левый идеал в R). Основная теорема теории элементарных делителей утверждает, что всякий конечно порожденный модуль изоморфен прямой сумме циклических модулей, если R является коммутативной областью-целостности, в которой каждый идеал главный (т. е. циклический). В частности (R — Z), каждая конечно порожденная абелева группа есть прямая сумма циклических групп.
Модуль Р называется проективным, если каждую диаграмму
с эпиморфизмом <т можно сделать коммутативной, пополнив ее отображением, указанным пунктирной стрелкой. Другими словами,, при заданном эпиморфизме а : В -» С для каждого отображения у : Р С найдется гомоморфизм |J : Р В, такой, что оф = у, т. е. любой гомоморфизм у можно провести через а.
Лемма 5.4. Каждый свободный модуль проективен.
Доказательство. Пусть F — свободный модуль со свободными образующими t. Поскольку а В = С, можно выбрать, для каждого t такой элемент bt 6 В, что abt = уt. Тогда единственный гомоморфизм (J: F В, определяемый равенствами р/ = bt для каждого t, является искомым.
в— »с
(5.1>
§ 6. Функтор Нот
35
В дальнейшем проективные модули будут постоянно использоваться. Отметим, что проективный модуль может не быть свободным. Например, если в качестве кольца R взять прямую сумму двух экземпляррв кольца Z целых чисел, R — Z @ Z (с умножёнием, определенным формулой (т, п) (т\ п ) = (тт\ пп')), то первое слагаемое Z как подмодуль ^-модуля является ^-модулем. Этот ^-модуль,. очевидно, не является свободным, однако он проективен, что вытекает из следующего предложения:
Предложение 5.5. R-модуль Р проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым свободного R-моду ля.
Доказательство. Предположим сначала, что модуль Р есть прямое слагаемое свободного модуля F = Р @ Q и я: F Р есть соответствующая проекция. Если дана диаграмма (5.1), то отображение уя : F С можно представить в виде ар = уп, где Р : F В. Умножив это равенство на вложение i: Р Р © Q, получим <т (Pi) = уЯ1 = у, откуда следует, что модуль Р проективен..
Обратно, пусть Р проективен. В силу предложения 5.3 существует эпиморфизм р : Р->- Р, где модуль F свободен. Гомоморфизм Ip : Р Р можно представить в виде рР = 1, р : Р F. Из предложения 4.2 вытекает, что модуль F есть прямая сумма подмодулей РР ^ Р и Кег р.
Любая подгруппа свободной абелевой группы свободна; следовательно, всякий проективный Z-модуль свободен.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что прямое слагаемое проективного модуля проективно.
2. Показать, что модуль Zm проективен (но не свободен) над кольцом Z^n вычетов по модулю тп, если тип взаимно просты.
3. Доказать, что произвольная прямая сумма проективных модулей; проективна.
§ 6. Функтор Нош
Пусть А и В некоторые ^-модули. Множество Нотн(A, B) = {f \f:A^>B}’
всех ^-модульных гомоморфизмов f модуля А в модуль В является абелевой группой относительно сложения, определенного равенством (f + g) а = fa + ga для любых гомоморфизмов f, g : А-*-В. Если А — В, то Нотн (А, А) является кольцом относительно указанного сложения и умножения гомоморфизмов; это кольцо называется кольцом R-эндоморфизмов модуля А. В том случае,
