Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Внешняя прямая сумма 2 И г тех же модулей At будет подмодулем модуля [JtAt, состоящим из всех функций /, принимающих только конечное число ненулевых значений. Гомоморфизмы it : At определяются сопоставлением каждому элементу
а 6 At функции ц (с), заданной на Тследующим образом: [if (а)] (t) = = а, [ц (о)1 (s) = 0 при s Ф t. Эти гомоморфизмы называются вложениями прямой суммы. Как и в случае двух слагаемых, диаграмма {ц: At универсальна относительно данных
модулей At и определена этим свойством однозначно с точностью до изоморфизма.
Для конечного числа слагаемых внешняя прямая сумма совпадает с полным прямым произведением. Поэтому любая конечная универсальная диаграмма ay. Aj -*¦ В, j = 1, . . ., п, порождает коуниверсальную диаграмму {у}-: В Aj}. Более точно, каждый гомоморфизм уj является отображением, однозначно определенным (поскольку В универсальна) условиями y/Xj — 1А., у р-н — 0 при
*) В советской литературе принят термин "полное прямое произведение". Этот термин будет использоваться в дальнейшем наряду с терминологией автора.— Прим. nepeet
32
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
/ ф k. Двойственно, из каждой коуниверсальной диаграммы читателем может быть получена универсальная диаграмма.
Прямые суммы могут быть описаны в терминах подмодулей. Если 5; — некоторое семейство подмодулей модуля В, индексы которого — элементы множества Т, то их объединение U St определяется как множество всех конечных сумм вида st + . . . + sn, где каждое s} взято из некоторого St. Это множество является подмодулем модуля В, включающим все St и содержащимся в любом другом подмодуле, содержащем все подмодули St. Пересечение П St определяется как пересечение множеств St; это множество является подмодулем модуля В, содержащимся в любом подмодуле St и включающим в себя любой подмодуль с тем же свойством. Мы будем также писать Si U S2 или fl S2 для объединения или пересечения двух подмодулей 5Ь S2.
Предложение 4.6. Для подмодулей St cz В, t ?Т, следующие условия эквивалентны.
(i) диаграмма {jt : St В}, где jt — вложение, универсальна относительно всех St\
(ii) В = U Stx и Sto П ( U St) = 0 для каждого t0 6 Т.
Доказательство. Если выполнено условие (i), то модуль В изоморфен прямой сумме 2 $t, удовлетворяющей условию (ii). Обратно, если выполнено условие (ii), то ввиду равенства В = Q St каждый элемент ЬФ О может быть записан как конечная сумма Ь = '= sj + . . . + элементов si ф 0, принадлежащих различным подмодулям St., i=l,..., п; вторая часть условия (ii) обеспечивает единственность подобного представления. Для любой другой диаграммы {<xt : St В'} гомоморфизм |3 : В В", определенный формулой р (si -(-... + sn) = attSi -f- . . . + oifnsn, является единственным гомоморфизмом, удовлетворяющим равенствам Pit = ай отсюда вытекает универсальность диаграммы {jt : St-+ В}.
При выполнении указанных условий модуль В называется внутренней прямой суммой своих подмодулей St. Следовательно, внутренняя прямая сумма изоморфна внешней прямой сумме В частности, В является внутренней прямой суммой двух подмодулей и S2 тогда и только тогда, когда Л S2 = 0 и StU S2 = = В\ из этих условий вытекает изоморфизм В ^ St @ S2.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что диаграмма (4.1), в которой njii= 1, Jt2i2 = 1, =
= 0 я лара (i*, Я2) точна, является диаграммой прямой суммы.
2. Если эндоморфизм а : А -*¦ А удовлетворяет равенству аа = а, то А есть прямая сумма подмодулей Кег а н 1ш а.
§ 5. Свободные и проективные модули
33
3. Показать, что диаграмма {а* : Л* t 6 Т} универсальна относи-
тельно данных модулей At тогда и только тогда, когда (i) модуль В есть объединение подмодулей atAt и когда (и) существуют такие гомоморфизмы Я* : В ->- At, t 6 Т, что = 1 и jtsaf = 0 при s Ф t.
4. Сформулировать и доказать предложение, двойственное предложению 4.6. (Двойственным к понятию подмодуля является понятие фактор-модуля.)
5. Пусть заданы гомоморфизмы аг^ : At -*¦ Aj, i, j = 1, 2. Показать,
что существует единственный гомоморфизм о : ® А2 ->¦ А[ Ф, А%, удовлетворяющий равенствам = aj;-, t, / = 1, 2.
§ 5. Свободные и проективные модули
Кольцо R как левый ^-модуль имеет следующее характеристическое свойство. Если а—произвольный элемент ^-модуля А, то существует единственный R-модульный гомоморфизм ца : R -> А, обладающий свойством ца(1) = о; именно, отображение fia определяется формулой ц„(г) = га.
Свободный левый ^-модуль — это прямая сумма некоторого семейства Я-модулей, каждый из которых изоморфен /^-модулю R. Принимая во внимание указанное выше свойство модуля R, мы можем сказать более точно, что левый ^-модуль F свободен относительно подмножества Т своих элементов, если гомоморфизмы
: R F, определенные для каждого t 6 Т равенством (г) = rt, образуют универсальную диаграмму относительно R. Поскольку каждый гомоморфизм v : R А однозначно определяется элементом v (1) ? А, свойство универсальности может быть сформулировано в виде следующего предложения.
