Методы светорассеяния в анализе дисперсных биологических сред - Лопатин В.Н.
ISBN 5-9221-0547-7
Скачать (прямая ссылка):
где k s = к • is = к(i — о) и имеет направление вдоль биссектрисы дополнительного угла рассеяния, \is\ = 2 sin (0/2), в — угол рассеяния, или угол между i и о.
При выполнении условия
где ртах = kdmax — максимальный дифракционный параметр рассеивателя,
и выражение (1.19) с точностью до множителя (т — 1) совпадает с выражением (1.6) для РГД.
Таким образом, ВКБ-приближение является обобщением аппроксимации РГД, в которой, кроме геометрической разности фаз, учитывается изменение фазы луча на его пути внутри частицы до рассеивающего элемента. Это приводит к расширению области размеров частиц в расчётах угловой интенсивности [2].
Для оптически мягких частиц, размер которых много меньше длины волны,
exp (ikgr') « 1, (1.22)
С учётом (1.18) получаем Е (V) = е^.
rj, zf = (У • i).
\т - 1| <С 1, \т — 11Ртах <С 1,
(1.20)
(1.21)
Подстановка (1.21), (1.22) в (1.19) приводит к результатам, совпадающим с таковыми в случае приближения Релея, полученными методами электростатики, т. е. с выражением (1.3).
Погрешность использования (1.22) в сравнении с формулами электростатики в предельных случаях асферичности (е = 0, оо) не превышает соответственно — 15.5 и 12.7% для т ^ 1.14 и уменьшается с уменьшением т и несферичности частиц [234].
Используя свойства «мягкости» частицы и непрерывности т и делая небольшие перегруппировки, можно записать выражение (1.19) иначе, а именно:
F(о, i) = | | exp[F(z)] exp [iksr'] dF(z) dS',
s z
4,
F(z) = ik J (m — 1) dzf.
(1.23)
Согласно принятым обозначениям и схеме расчёта ks = ks ix + kS2Y + kS3%,
где
ksl = ^k sin в cos tp, ks2 = — k sin 9 sin
kss = k(\ — cos в) = 2k sin2
(1.24)
(1.25)
Заметим, что (<9, tp) образует плоскость рассеяния, тождественную (i,о), относительно плоскости падения (i,е^).
Как видно из (1.23), (1.24), для
2kz sin2 | 4С 1, 0 < 1
ksrf « kslX' + kS2yf, то есть не зависит от z. Отсюда из (1.23) получаем:
(1.26)
(1.27)
W'-w
s
1 — exp
ik
(m (/) — 1) dz!
exp (iksr;) dSf. (1.28)
Здесь z^ — выходная координата поверхности частицы для волны, прошедшей через точку радиус-вектора г;. С небольшой погрешностью (1.28) остаётся справедливым, если заменить (1.26) на менее жёсткое условие:
2kz% sin21 <0.5, (1-29)
где 2:3 = max {|zi |, |^21}* Условию (1.29) удовлетворяют углы рассеяния, в которых для больших частиц сосредоточена практически вся рассеянная энергия [157].
Таким образом, имеем:
Косл = ^ Im f(i, i) • е* = 2 Re
1 — exp
ik
27Г
1 — exp
ik
[m (V) - 1 ]dzf
«1).
[m (У) - 1] dz! j dSf, (1.30)
exp (iksr;) dSf (1.31)
Выражения (1.30), (1.31) идентичны таковым аномальной дифракции соответственно для поперечника ослабления и амплитуды малоуглового рассеяния [134], которые базируются на совершенно отличных механизмах рассеяния.
Для крупных частиц, удовлетворяющих условию:
\т — II <С 1»
k ! [т (У) - 1] dz! = Ф(ж, у) ф const >¦ 1,
(1.32)
к Ах, кАу >¦ 1,
для большинства рассеивателей реальных форм интегралы в (1.30), (1.31) от второго члена много меньше, чем от первого, так как второй член является осциллирующей знакопеременной функцией, не превосходящей по модулю единицы, а первый есть единица.
Таким образом, для малоуглового рассеяния, с учётом (1.32) имеем
lf(o,i)|
G = | exp (zkgr') dS', S = Sc.
(1.33)
Здесь S — площадь сечения частицы, aG - интерференционный член. Выражение (1.33) с учётом (1.27) есть модуль амплитудной функции Френеля и соответствует дифракции Фраунгофера [134].
Как было отмечено в работе [212], аномальная дифракция частично включает геометрическую оптику, а именно, учитывает вклад дважды преломлённых лучей. Следовательно, аппроксимация ВКБ также содержит приближение геометрической оптики.
В приближении эйконала поле внутри частицы аппроксимируется плоской волной с набегом фазы, который вычисляется через (ш2 — 1), а в приближении ВКБ набег фазы вычисляется через 2(га — 1), т. е. приближение эйконала отличается от ВКБ-аппроксимации только множителем. При этом аппроксимацию ВКБ можно рассматривать как частное решение уравнения эйконала [235]:
(VS)2 = п2(г), (1.34)
где S — некая реальная скалярная функция положения, удовлетворяющая уравнению (1.34).
В [236] показано, что ВКБ-аппроксимация (приближение прямых лучей) является простым и эффективным инструментом при расчёте оптических характеристик как отдельных рассеивателей, так и совокупности рассеивателей произвольной формы.
В работе [1] исследованы характеристики светорассеяния несферических частиц (на примере шаров и цилиндров), используя наряду с другими аппроксимационными подходами приближение ВКБ и её модифицикацию — двухлучевое ВКБ-приближение. Показана связь приближения ВКБ с приближением РГД, АД и эйконала. В [237] проводился сравнительный анализ ошибок при вычислении интенсивности рассеяния сферой в рамках аппроксимаций РГД, ВКБ и двухлучевого ВКБ для следующего диапазона параметров: 1 < т < 1.5 и 0 < р < 20. Показано, что двухлучевое приближение ВКБ является наиболее точным для решения таких задач, однако область его применения ограничена, особенно для углов рассеяния свыше 90°.
