Методы светорассеяния в анализе дисперсных биологических сред - Лопатин В.Н.
ISBN 5-9221-0547-7
Скачать (прямая ссылка):
ными рекуррентными соотношениями:
фг+1(х) = ^±1фг(ж)_фг_1(ж))
?ш{х) = (1-23)
Однако многократное использование зависимости (1.23) при вычислении 4?i(x) от малых I к большим сопровождается быстрым накоплением относительной погрешности.
Чтобы уменьшить вычислительные ошибки при расчётах функций Ф/(ж), целесообразно использовать схему, предложенную в [138] и использованную во многих работах при вычислении оптических характеристик однородных шаров. Если
Dt(x) = [ЬФ^ж)]', Gi(x) = [ln^x)]',
(1.24)
то амплитуды парциальных волн однородных шаров можно записать в виде
= ^i(p)[Di(mp) - mDi(p)} , = 4>i(p)\mDi(mp) - Dt(p)} ( ?[-ч
b(p)[Di(mp) - mGi{p)} ’ ?i(p)[mDi(тр) - Gi{p)} '
В выражениях (1.25) множитель перед квадратными скобками включает только функции действительного аргумента.
Согласно [138] логарифмические производные (1.24) удовлетворяют соотношениям:
A-i(s) = -- п. * ¦¦ , (1.26)
х Di(x) + i/x
Gt-х(х)=1-- 1 . (1.27)
х G i(x) + l/x
Вычисление Di(x) по (1.26) от малых значений I к большим приводит к нестабильности численных результатов при I > \х\. При расчёте от больших значений I к малым рекурсия (1.26) всегда численно стабильна [29].
В силу быстрой сходимости Di(x) к правильным значениям логарифмических производных для I = N Э» \х\ удобно положить Dn = О
и, подставив в (1.26), вычислить Di(x) с номерами N — 1, Лг — 2,... ,0. При заведомо больших N точность получаемых результатов нечувствительна к выбору начального номера N.
При вычислении Gi(p) по (1.27) от малых значений I к большим относительная ошибка не накапливается [29].
Для расчёта функций ^i(p), ^i(p) может использоваться восходящая рекурсия (1.23). Зная
?о(р) = sin (р) - i cos (р), ?i(p) = — cos р — i ^sin р+ cosp
Фо (р) = sin р, ^\(р) = - cos р
Р V Р
- гоя л (L28)
можно получить все остальные ?z(p), ^i(p)-
При вычислении рядов (1.4) и (1.5) суммирование прекращается, когда вклад iV*-ro члена ряда составляет не более 10-8 от суммы предыдущих членов ряда:
ж* —1
Sn- < icr8 J2 Si-l=\
Как показано в работе [29], при этом N* « 1.2/)+ 10.
1.8. Методики контроля расчёта оптических характеристик дисперсных биологических сред
Опишем методики контроля расчёта оптических характеристик дисперсных биологических сред, которые использованы для получения приведённых в настоящей работе результатов.
Для расчёта характеристик рассеяния хаотично ориентированных сфероидальных частиц использовалась гибридная аппроксимация, основанная на соотношениях Релея-Ганса-Дебая. Суть данной аппроксимации заключается в следующем. С помощью выражений аппроксимации РГД мы можем перейти от хаотично ориентированного сфероида к полидисперсному набору шаров с некоторой функцией распределения по размеру шаров (1.13). Дальнейшие вычисления оптических характеристик этого набора шаров велись с помощью строгой теории Ми, что позволяет практически не потерять в точности по сравнению со строгой теорией и значительно уменьшить время компьютерного счёта [48, 49, 53]. Для обеспечения точности вычисления индикатрисы рассеяния хаотично ориентированного сфероида использовался метод итераций. Одна итерация данного метода заключалась в увеличении вдвое количества точек разбиения плотности распределения дифракционного параметра полидисперсного набора шаров (1.13). Итерационный процесс обрывался, если значения интенсивностей при всех углах рассеяния отличались менее чем на 10-2 % от соответствующих значений на предыдущем шаге. Методика вычислений светорассеяния для каждого из шаров подробно описана в параграфе 1.7.
Результаты, получаемые с помощью данной аппроксимации, хорошо согласуются с результатами, полученными методом Т-матриц [8, 119], однако скорость вычисления характеристик рассеяния для гибридной аппроксимации на несколько порядков выше.
Для расчёта характеристик рассеяния излучения ориентированных сфероидальных частиц использовалась гибридная аппроксимация, основанная на соотношениях аномальной дифракции. Суть этого подхода заключается в следующем. С помощью формул приближения аномальной дифракции получено, что интенсивности света, рассеянного при определённом угле в ориентированным под некоторым углом а сфероидом и шаром с соответствующим показателем преломления и дифракционным параметром (зависящими от параметров сфероида), отличаются на величину множителя, который также определяется параметрами сфероида (см. раздел 1.4.2). Расчёт светорассеяния от полученного таким образом шара проводился с использованием строгой теории Ми, а не соотношения для аномальной дифракции, из которого этот переход получен [44, 45, 50, 51]. Ясно, что для получения индикатрисы рассеяния излучения с шагом в 1° (достаточным для исследуемого нами диапазона дифракционного параметра частиц) по углу рассеяния необходимо рассчитать индикатрисы рассеяния для 360 различ-
