Методы светорассеяния в анализе дисперсных биологических сред - Лопатин В.Н.
ISBN 5-9221-0547-7
Скачать (прямая ссылка):
Согласно принципу Гюйгенса, эта неполнота волнового фронта приводит к появлению определённого углового распределения интенсивности (на очень больших расстояниях от частицы), известного под названием дифракция Фраунгофера. В этой дифракционной картине распределение интенсивности зависит от формы и размера частицы, но не зависит от её строения или природы её поверхности [134]. Геометрооптическая составляющая определяется различными лучевыми потоками (отражённый, дважды преломлённый и т.д.). Дифракция на крае частицы, которая даёт пик в области малых углов, при необходимости может быть учтена отдельно [3].
Иллюстрацией приложений данной аппроксимации могут служить работы по определению характеристик светорассеяния гексагональных и многогранных кристаллов льда [197-203].
В рамках геометрической оптики исследованы характеристики светорассеяния капель воды (модель — сферическая частица) [204-205], круговых цилиндров [206], сфероидов фиксированной и хаотичной ориентации [207, 208], хаотично ориентированных кубов и параллелепипедов [209] и т.д. В работе [210] рассмотрен параметр асимметрии больших диэлектрических сфер, в работе [211] детально проанализированы геометрооптические решения для световых потоков, рассеянных крупными сферическими частицами с показателем преломления большим 1.12. В работе [212] рассмотрены интегральные характеристики светорассеяния (интегральная индикатриса светорассеяния) больших оптически мягких сферических частиц.
Широкое применение в настоящее время имеют так называемые приближения высоких энергий (hight energy approximation — НЕА) [155], в рамках которых рассматривается рассеяние «мягкими» частицами, или потенциалами в случае коротких, по сравнению с размерами частиц, длин волн (или в случае высоких энергий частиц, рассеивающихся на потенциале). К таким аппроксимациям относятся приближение эйконала и аппроксимация Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ).
Метод эйконала получил своё первоначальное развитие и систематическое использование в квантовой механике [155] при решении
уравнения Шрёдингера. Рассмотрим электромагнитное поле, представленное скалярной функцией:
?(г, г) = ф(т) exp (—iui). (1.10)
Функция ф удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
Х?2ф(г) + т2(г)к2ф(г) = 0, (1-11)
где т(г) — комплексный показатель преломления среды в окрестностях точки г, fc — волновой вектор падающего поля в вакууме.
При рассмотрении взаимодействия фотона с энергией Е и моментом р с частицей в поле с потенциалом V(r) уравнение Шрёдингера
имеет вид:
V2 + k2
1
V(r)
Е
ф(г) = О,
(1.12)
где V(r) имеет ненулевое значение внутри ограниченной области с размером d.
Сравнивая уравнения (1.11) и (1.12), получаем подобное выражение для потенциала рассеяния, выраженного через показатель преломления в окрестностях точки г:
V(y) = (1 — m2(r))?\
(1.13)
Следовательно, для рассеянной частицы в точке г, находящейся далеко от центра потенциала, решение уравнения (1.12) можно представить в виде:
k* exp (ikr)
ф(г) = ехр(гкг) + — ¦ hj
Lf(kr,k),
(1.14)
где exp(ikr) — падающая волна. В случае приближения эйконала, при условии kd 1, V/k2 4С 1» амплитуда рассеяния f(kr,k) принимает вид:
f(kr,k) = — — J dr' exp (—гкгг') V (1-15)
где kr = кг/г — волновой вектор рассеянной волны в точке г.
Приближение эйконала позволяет описывать характеристики светорассеяния больших оптически мягких частиц преимущественно в области малых углов. В ряде работ, в рамках приближения эйконала, исследовались характеристики светорассеяния однородных [213-223] и структурированных сферических частиц [224]. Формулы эйкональ-нош приближения могут быть модифицированы и представлены в виде интеграла по «прицельному» параметру, что позволяет расширить область углов, в которой можно рассчитывать интенсивность рассеяния. Данный подход был использован для описания светорассеивающих характеристик различных частиц в работах [181, 225-233].
Как уже было отмечено выше, метод интегральных уравнений является одним из эффективных методов получения аппроксимационных решений. Рассмотрим приближение ВКБ, используя метод интегральных представлений (рис. 1.1).
Поле Е('г) внутри частицы аппроксимируется распространяющейся волной с волновым вектором, соответствующим веществу частицы. При
Рис. 1.1. Описание внутреннего поля в приближении ВКБ
этом должны выполняться следующие условия:
\т — \\kd^> 1, |т — 11 <с: 1.
Таким образом, если падающая волна имеет вид:
Еi(r) = Ei exp (ikz)ei,
(Lie)
(1.17)
то поле внутри частицы (рис. 1.1) принимается равным:
Е (У) = ei ехр< ikr' • i + ik | т (zf) dzf >, z\ < z < z%, (1.18)
где ei — единичный вектор поляризации, z\ = (rj • i) — входная координата поверхности частицы для волны, проходящей через точку
Подстановка (1.18) в (1.2) с небольшими переобозначениями и перегруппировками даёт:
