Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
х xklt xki,..., хк",...,
У УК У$, — , «А",...
с произвольными у их. Складывая соответствующие члены этих двух последовательностей, мы получим другую рекуррентную последовательность, коэффициенты которой, согласно теореме I, также равны b и с. Поэтому п-й член нашего исходного ряда можно записать в виде
ип = х“Ь 2-
Поскольку первые члены и известны, х и у можно найти, решая два уравнения для и0 и «I (т.е. положив п=0; 1):
и0 = х + уш, их = х\х + гД2.
Теперь выражение для ип полностью определено. Мы доказали здесь известную теорему о том, что любую рекуррентную последовательность можно представить в виде суммы соответствующих геометрических прогрессий.
Вышеприведенное доказательство можно, очевидно, распространить и на рекуррентные последовательности более высокого порядка; так, например, если рекуррентное уравнение имеет вид ип+з = Ьип+2 + сип+1 + -\-dun, то общий член можно представить в виде суммы соответствующих членов геометрической прогрессии с теми же самыми коэффициентами
ип = хК1 + уХЪ + 2*3,
где Я2, — знаменатели трех геометрических прогрессий. Они явля-
ются корнями уравнения
Я»_ bW — ck — d = 0.
Численные значения х, у, z можно определить по тем нескольким первым членам последовательности, которые нам известны.
Пример 1. Рассмотрим последовательность q для самцов из табл. 7.2. Несколько ее первых членов известны, и мы уже видели из (8), что ее
рекуррентным уравнением является ип=-^-ип-Н—~ип-2 с коэффициентами b=— и с = ——. Знаменатели двух соответствующих геометрических прогрессий с теми же самыми коэффициентами будут тогда равны
, t+i/~(t+2) , 2-/(!+2J i
Ai — ' — 1. До — —
1 2 2 2
Следовательно, общее выражение для частоты генов у самцов имеет вид
Для определения численных значений х и у мы воспользуемся значениями и для первых двух поколений (соответствующих п=0; 1), т. е.
и0 = 0,60 = х + у, их = 0,30 = х+у(^---Х-
Решив эти уравнения, получим х=0,40 и у=0,20. Окончательное выражение для ип этой частной последовательности равно
ил = 0,40 + 0,20
Таким образом, «8=0,4008, ид = 0,3996 и т.д.; предельное значение равно 0,40. Если в каком-то поколении ип будет больше 0,40, то в следующем поколении оно станет меньше 0,40 (максимум наполовину). Отрицательный корень ^2=-----^ обусловливает колебательный характер последо-
вательности: ее члены принимают попеременно то большее, то меньшее значения относительно предельного.
Пример 2. Одна из наиболее часто встречающихся в генетике последовательностей — последовательность Фибоначчи
ii А 1 А 1 1
’ 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 32 ’ 64 '
Знаменатель каждого следующего члена удваивается, а числитель равен сумме двух предшествующих числителей. Иными словами, рекуррентное уравнение имеет вид
1 ,1 /*. 1 1
Кл-о = — 4---b — —, с = —
п+2 2 п+1 ' 4 п ^ 2 4
Знаменатели двух соответствующих геометрических прогрессий можно найти из уравнения X2-----------= Таким образом,
~ +К(1/4+о 1 + уТ , y-1/(1/4+1) i-Vs
ь1 =-------- ------= _—, x2 =----------------= —j— •
Следовательно, n-й член последовательности Фибоначчи представляется в виде
L
Используя первые два известных члена этой последовательности для определения численных значений хну, получим
«0=1 = Х+У, u-i = = -А-х (1 +К5-) + А_у(1 -У5).
Решение дает
1 + V 5 2 (\+ У~5 ) -2 fl-YJ)
гУТ VT' 4 > VT\ 4 '
Итак, выражение для общего члена последовательности имеет вид
при
достаточно больших п Щ будет мало по сравнению с X” и и„+1^0,809и„.
Поскольку Я,1=— (1 +У 5) =0,809 и Х2 =—(l — V5) =—0,309, то 4 4
Таким образом, каждый следующий член последовательности Фибоначчи будет меньше предыдущего приблизительно на 19,1%. Предельное значение ип равно нулю, поскольку абсолютные значения обеих X меньше единицы.
Пример 3. Рассмотрим последовательность
Рекуррентная связь между ее членами не столь очевидна, как в предыдущих случаях. Однако ее, как и ранее, можно легко установить, решив уравнения u2 = bul + cu0 и т. д. Таким образом,
способом, по уравнению X2—Ь%—с=0, найти знаменатели двух соответствующих геометрических прогрессий, т. е.
Далее обычным способом находим численные значения х и у в общем выражении для ип.
Следовательно, общий член последовательности будет иметь вид
Предельное значение ип при п-^оо равно нулю.
Пример 4. Очевидно, что коэффициенты определяют лишь соотношения между соседними членами рекуррентной последовательности, а общее выражение для п-то члена зависит как от коэффициентов, так и от начальных членов последовательностей. Две рекуррентные последовательности с одними и теми же коэффициентами могут иметь разные общие члены:
