Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
9. Предположим, что для доминантного сцепленного с полом локу-са по самцам и самкам имеются выборки одинакового объема (Nl = =N2=N) и оценки частоты рецессивного гена сделаны отдельно по каждому полу. Тогда формулы (31) приобретают вид
N 4 4N
При каком значении q эти дисперсии будут равны? В каком случае V(qi) будет больше У(<7г)? Постройте и проанализируйте кривые у= = q(l—q) и г/=74(1—q2).
Ответ: q — — .
3
10. Пусть имеются следующие наблюдаемые данные в отношении некоего рецессивного сцепленного с полом признака:
Самцы Самки
Дх N, D2 R2 Nt
35 15 50 66 9 75
Определите частоту рецессивного гена из суммарных данных по самцам и самкам. Рассчитайте ее дисперсию и стандартную ошибку. Ответ: ?>?+4(Afi+2N2) (^,+2^) =27625; 1/^7625= 166,2; <712 = 0,328; V{qn) = =0,001776; SE = 0,042.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Вопрос о рекуррентных последовательностях рассмотрен здесь по двум причинам. Во-первых, частоты сцепленных с полом генов в смежных поколениях при свободном скрещивании образуют рекуррентные последовательности. Во-вторых, и это более важно, мы встретимся в данной книге с рядом других последовательностей сходной природы, когда будем рассматривать последствия инбридинга. Знание настоящего вопдоса чрезвычайно облегчит понимание последующих глав.
Последовательность
«0, Uli Ы2, ыз, •••, ип
называется рекуррентной, если каждый ее член является одной и той же линейной комбинацией некоторых предшествующих членов. Простейший пример — это последовательность
«п+2 = Ч+1 + CUn‘
Константы Ъ и с известны под названием коэффициентов рекуррентной последовательности (scales of relation). Для последовательности этого типа, зная два ее первых члена и коэффициенты, можно выписать все последующие члены. И наоборот, если даны несколько первых членов последовательности, можно найти ее коэффициенты, решая следующие два уравнения:
и2 = Ьиг -f- си0, иа = bu2 + cuv
Выражение для общего члена нужно потому, что, во-первых, из него можно получить любой член последовательности, не рассчитывая всех предшествующих членов, и, во-вторых, из такого общего выражения можно найти предельное значение ип при я-»-оо. Чтобы получить выражение для ип, нужно доказать следующие три утверждения.
Утверждение I. Сумма соответствующих членов двух рекуррентных последовательностей с одними и теми же коэффициентами образует рекуррентную последовательность с теми же коэффициентами. Пусть
= Ьхп_х + сх„_2, уп = Ъуп_х + суп_2.
Складывая эти два выражения, получим
ип = Хп + Уп = Ь [Хп-1 + Уп-0 + С (*„-2 + Уп-*) = Ч-1 + сип-2-Итак, любая линейная комбинация хп и уп обладает теми же самыми коэффициентами.
Утверждение II. Любукб геометрическую прогрессию можно записать в форме рекуррентной последовательности с двумя или большим числом коэффициентов. Например, п-й член геометрической прогрессии х, хХ, хХ2, хХъ, ..., в которой X— постоянная, можно также записать в виде
ип = К-1 = Ып-1 — ип-1 + Un-1 = (Ь — !) Un-1 + Ч-2-
откуда видно, что это рекуррентное соотношение с коэффициентами b — X—1, с = Х. С другой стороны, поскольку un = Xun-i = X2un-2, то мы можем записать его и как
и = — Хи . + — X2 и 2
п g ^^ 2 — *
-с коэффициентами Ъ=
Утверждение III. Д^я любой рекуррентной последовательности с двумя коэффициентами можно найти две соответствующие геометрические прогрессии с теми же самыми коэффициентами. Пусть исходное рекуррентное соотношение будет, как и раньше, ип = Ьип-\-\-сип-2¦ Тогда любая геометрическая прогрессия с теми же коэффициентами b и с удовлетворяет рекуррентному соотношению
хХп = ЬхХп~х + с.хХп-\ которое приводит к уравнению
Х* — ЬХ — с = 0.
Два его корня равны _______
. b + V (62 + 4с) . b — V(b2 + 4c)
Ai = ------------- , А» = ------------- .
1 2 2 2
Следовательно, две геометрические прогрессии со знаменателями XihX2, представленные в рекуррентной форме, имеют те же самые коэффициенты Ъ и с, что и исходная рекуррентная последовательность.
Выражение для общего члена рекуррентной последовательности
С помощью этих трех теорем можно найти выражение для общего
члена рекуррентной последовательности. Предположим, что несколько
первых членов рекуррентной последовательности «о, «ь «2, «з,... известны и, таким образом, известны также коэффициенты бис. Первый шаг состоит в том, чтобы найти знаменатели для двух геометрических прогрессий, которые имели бы те же самые коэффициенты b и с. Пусть эти прогрессии будут, скажем,
