Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
/.л _ x)m~l T{n+mi п-1/, ,Ат-1
так что, согласно (2),
1
Ф (х) dx = 1,
о
то говорят, что х является бета-переменной (первого рода) с параметрами п и т, а распределение (4) есть бета-распределение (первого рода). Оно принадлежит к пирсоновским кривым типа 1.
Пример.
ф (х) = = бОх3 (1 — х)\
т w в (4, 3) '
4. Так как В (п, m) в формуле (4) — константа, вид этого распределения можно найти, просто построив график функции y=xn~l( 1—x)m~l. Форма кривой зависит от значений параметров пит. Например, если и п и т больше единицы, то кривая будет иметь максимум (моду). Положив dy/dx=0, получим уравнение
(п - l)xn~2 (1 - х)т~х - хп~х (т - 1) (1 - х)т~2 = 0,
или
(п— 1)(1 —х) — х(т— 1) = 0,
поэтому
п— 1
х =--------- (5)
п + т — 2
является модальным значением х. В приведенном выше примере модаль-
з
ное значение х равно (4—I)/(7—2)=—=0,60. Когда п = т и оба они
5 -
больше единицы, распределение (4) становится симметричным, а его мо-
1
дальное значение х=—.
5. Важна также форма кривой у обоих концов. Если п>2, кривая касается оси х в начале координат (х=0). Если 1<п<2, то она касается оси у в начале координат. И, наконец, если 0<я<1, то кривая асимптотически приближается к оси у. То же самое можно сказать о зависимости формы кривой с другого конца (х= 1) от т.
6. Средняя величина х бета-распределения (4), согласно соотношениям (3) и (1), равна
х = Е(х) =Гхф (x)dx= Г *П(1-*Уп~1*?=В(п+1, т) —п—^ (6)
J J В (п, т) В (п,т) п + т
Аналогично
Е(х2) = В(» + 2,т) =
п (га + 1)
В (п, т) (га + т) (п-\-т + 1)
Следовательно, дисперсия х равна
=. <7)
Эти простые теоремы очень пригодятся нам в дальнейшем. В качестве предварительного упражнения постройте кривые (0<х<1)
y=xs( 1—х)4; у = х1/2(1 — х)2; y=x~l/2 (1 — х)2
и проверьте некоторые из приведенных выше формул, подобрав соответствующие численные значения В (п, т). Превосходный разбор бета- и гамма-распределений можно найти в работе [643].
§ 2. ОБЩАЯ ФОРМУЛА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
При выводе общей формулы для распределения q мы предполагали, что если распределение стационарно, то средняя величина и дисперсия q в данном и следующем поколениях одинаковы. Райт [692] дал более строгий вывод формулы, основанный на том факте, что если распределение из поколения в поколение остается одинаковым, то все его моменты (относительно средней величины) также не меняются. Следующие выкладки заимствованы из его статьи 1952 г. Читатель, не желающий вникать в детали интегрального исчисления, может обратиться прямо к окончательным результатам (14) и (15).
Таблица 27.1
Свойства q, Aq и бq
Частота гена Случайное отклонение
Интервал 0<q < 1 --- q<6q< 1 --- q
Частота класса f(q) &$q)
Суммарная частота S f (q) = 1 Zg (dq) = 1
Среднее значение 2q-f(q) = q 2 6q-g (6q) = 0
Дисперсия 2 (q---q)2 f (q) = a2q 2 (5q)2 g (6q) = CTg?
Сумма произведений SS (q-q) (6q) f (q) g (8q) = 0
ZZ(Aq) (6q) f (q) g (5q) = = 0
Предварительные замечания. Частота гена в каждой группе изменяется двумя способами: систематически и случайно, поэтому распределение должно быть функцией Дq и бq. Если f(q) и g(8q) —-частоты классов, на которые разбиты соответственно q и бq, то мы получим соотношения (табл. 27.1), относительно которых можно сделать несколько замечаний. Предположим, что частота гена в определенной группе некоторого поколения равна q. Из-за случайного отклонения в следующем поколении она может стать меньше (в этом случае мы говорим, что бq отрицательно) или больше (в этом случае бq положительно). Поэтому границами интервала для бq будут —q и 1—q, как это указано в табл. 27.1. Сумма (а значит, и среднее) этих случайных отклонений, конечно, равна нулю. Их средний квадрат является дисперсией . Кроме того,_ являясь случайной величиной, сумма произведений бq на Aq или (q—q) должна быть равна нулю (нижняя часть табл. 27.1); другими словами, предполагается, что изменения этих двух типов не коррелируют.
Основное уравнение. Если q — частота гена в какой-то группе в некотором поколении, то п-й момент относительно среднего значения в этом поколении равен S(^—q)nf(q), где суммирование производится по всем классам q. В следующем поколении частота гена для этого класса вследствие указанных выше изменений двух типов будет равна ^+А^+ +бq, так что отклонение от среднего станет равным (q—q)-\-(Aq-\-bq). Поскольку п-й момент в следующем поколении останется таким же, как и в предшествующем, мы получим основное уравнение
