Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Однако многие организмы за один раз образуют громадное число яиц, из которых только очень небольшая часть достигает зрелости. Далее мы увидим, что если элиминация яиц и личинок происходит случайным образом, то количество получающихся в результате зрелых потомков все еще описывается распределением Пуассона.
Предположим, что k — 2 и число яиц, отложенных одцой особью, равно К, причем из них только 1/п достигает зрелости. Средняя величина К должна равняться 2п. Если К образует последовательность Пуассона со средним значением К=2п, то вероятность образования К яиц будет равна е~2п(2п)к1К\ Вероятность того, что из К яиц любого данного набора k достигнут зрелости, задается членом бинома
К\ (J_\k {n — l\K~k k\ (К — k)\[nj { п ) *
При этом предполагается, что выживание — процесс случайный. Поэтому полная вероятность иметь k зрелых потомков (к фиксировано) при различных возможных величинах К равна [168]
К=оо /С= 00
{-2п{Ъп)к к\ / 1 У*/л—lV?-*! _9я 2k ХЛ 2K~k(n~\)K~k
Ыг Ы (—) H lT ?”'(«-*)) =
К~к K=k
= e-2»ii{e2<«-0} = e-2 2i k\ 1 k\
что является распределением Пуассона для k потомков со средним значением k = 2.
2. Выше мы использовали обычные алгебраические выкладки для доказательства выражения, которое можно очень легко получить методом вероятностной производящей функции (в. п. ф.). Если F (s) — в. п. ф. распределения Пуассона для большого числа К со средним К=2п, а g-(s) =-—!-l—Ls — биномиальная в. п. ф., где 1 /п является вероятностью
выживания и достижения половой зрелости, то G (s) =F(g(s)) естьв.п.ф. распределения Пуассона для числа взрослых потомков со средним k — = _L^= -L (2л) =2. Итак,
п п
F (s) = ё~1п e2ns,
2п (— +±'\
G(s) = F (g (s)) = е~2п е {п п е-2п+2п~2 e2s = е~2 e2s,
откуда получается распределение Пуассона со средним значением 2. Численные величины
k 0 1 2 3 4 5
pk 0,13534 0,27067 0,27067 0,18045 0,09022 0,03609
6 7 8 9 10
0,01203 0,00344 0,00086 0,00019 0,00004.
3. В данной главе мы установили, что производящей функцией Я (s) для распределениях является G(g(s)), где G(s) — производящая функция для распределения k, a g(s) —биномиальная производящая функция. Это позволяет понять арифметический смысл равенства H(s) = = G (g(s)). В табл. 20.3 иллюстрируется ситуация с распределением Пуассона (т=2) и с отрицательным биномиальным распределением
(М—2, V=4), содержащим параметры г=2, Р—~^-
В первом столбце табл. 20.3 приведены величины k\ 0, 1, 2,..., а во втором-—соответствующие вероятности распределения Пуассона pk со средним значением т=2. Для каждой величины k существует биномиальное распределение х (числа гетерозиготных детей). Ясно, что сумма произведений соответствующих величин в столбцах ри и х=0 является вероятностью того, что х=0. Точно так же сумма произведений в столбцах ри и х— 1 является общей вероятностью того, что х — \ ит. д. Эти вероятности даны в нижнем ряду таблицы и обозначены через рх. Видно, что величины рх для х=0, 1, 2, ... образуют распределение Пуассона со средним значением — т = \.
С помощью точно такой же арифметической процедуры мы находим распределение х для отрицательного биномиального распределе-
Таблица 20.3
Получение распределения х из распределения k
Чис Распределение Отрицательное Условное биномиальное распределение
ло Пуассона, т = биномиальное / 1 , 1
детей, = 2, Ри распределение, 1--- Для числа гетерозигот д:
k г=2, p=Vs, Pk 0 1 2 3 4 5
0 е---2-1 1/4 1
1 е-2-2 2/8 1/2 1/2
2 2 22 3/16 1/4 2/4 1/4
е---2. ---.
2!
3 2 23 4/32 1/8 3/8 3/8 1/8
g---2. -
3!
4 2 24 5/64 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
е---2. ---•
4!
5 2 25 6/128 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32
е---2- ---
