Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, эта теория может служить моделью реальных процессов, происходящих в живых системах, принимающих решения. Это — психологический аспект проблемы. В этом случае теорию принятия решений можно использовать для весьма общего описания поведения в рамках исследования стимул — реакция. Именно в этом заключается интерес теории для психологии.
В начале теория принятия решений будет рассмотрена как абстрактная теория. Затем она будет использована для получения различных моделей поведения в рамках исследования стимул — реакция.
Теория принятия решений — статистическая теория и, следовательно, в ней используется понятие вероятности. Она является достаточно общей и может быть применена для весьма общих задач. Итак, вначале следует сформулировать основные понятия этой теории. В пей используются три группы символов. Во-первых, символы hu h2, . . ., hm, описывающие состояние внешней среды, они могут быть числами или событиями. Во-вторых, символы Нг, Н2, . . . , Нт, описывающие высказывания относительно состояний ht. События Ht называются гипотезами. И, наконец, используются данные elt е2, . . ., еп, определяющие информацию о внешней среде, полученную в опыте.
Пример 1.1.
— дождь (действительное состояние); h2 — хорошая погода (действительное состояние); Нг — дождь (гипотеза); Н2—хорошая погода (гипотеза); ef —показания барометра; ех—низкое давление; е2 — высокое давление.
Основной задачей теории статистических решений или теории проверки гипотез является проверка правдоподобности или истинности той или цной гипотезы Н( (г = 1, 2, . . ., т) на осцовании
имеющейся информации е,- (i = 1, 2, . . ,, в) о состоянии ht внешнего мира.
Разумеется, проверять истинность той или иной гипотезы необходимо только в том случае, если имеющиеся сведения о действительных состояниях (в примере — это показания барометра еу и е.г) не достаточны для достоверного подтверждения той или иной гипотезы. Именно по этой причине наши утверждения являются лишь вероятностными.
§ 2. Решающее правило
Первый вопрос, который возникает при принятии решения, относится к решающему правилу, на основании которого можно принять или отклонить предполагаемую гипотезу.
Существует очень простое и вместе с тем общее решающее правило, которое используется в теории принятия решений. Для
этого вначале следует дать вероятностное описание состояний внешнего мира
Предположим, что нам известны априорные вероятности 9i = Р (hi) (i = 1.2,.. п) состояний ht; эти состояния составляют полную систему событий, так что
т
S 9i = !•
i-l
После получения информации еи е2, . . еп единственное изменение наших знаний состоит в том, что априорные вероятности перейдут в
апостериорные вероятности р (hf/ej) (Приложение I). Эти числа и являются той реальной информацией, которая имеется для принятия решения. На рис. 1.1 апостериорные вероятности различных гипотез приведены в клетках диаграммы.
Простое и важное решающее правило статистической теории решения состоит в том, чтобы сравнить между собой апостериорные вероятности различных гипотез и принять ту из них, для которой зта апостериорная вероятность наибольшая.
В случае выбора между двумя гипотезами и Л2 (случай двух-алтернативной простой гипотезы) решающее правило запишется следующим образом:
hJ
Рис. 1.1. Апостериорные вероятности гипотез
"г - ffj ••• Нт
1
Л /fijj
1 Основные сведения по теории вероятностей содержатся в Приложении I, Ю
если
р (Vе;) > Р (V«*).
то принимается Ht; если
р (hjet) > р Qijei),
то принимается Н2-
Смысл решающего правила состоит в том, что принимается более вероятная гипотеза с учетом наблюдения.
Используя теорему Бейеса, можно записать решающее правило (1.1) в другой форме, удобной для вычислений и позволяющей распространить задачу на более общие случаи. На основании теоремы Бейеса имеет место (см. Приложение I)
1ЧМЛ<<-2>
Согласно (1.2) условие (1.1) можно записать так: если
P(ej/h) (/1
Р (eil hi) ^ ?2
то Ни
з/
если
1Ш>—. ™ И,.
PifijlK) Чг
Или окончательно: если
X (е}) > то Я2; (1.3)
если
I (е}) < Я,0, то Ht,
где
k(ej) = —~1^г ; (1.4)
v v P(ej/hi)
*о = -^. (1.5)
<72
Именно в виде (1.3) решающее правило применяется в теории решений. Функция X (ej) (/ = 1,2, . . ., п) называется отношением правдоподобия, а величина Л0 — порогом г.
