Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
_ j_
/ {Щ = (2я0) 3 ехр [ — ¦{Х ^/l)2 ] ,
f(x/n) = (2nD) 2exp[-i^^],
то для вероятности попадания р (S/s) и вероятности ложной тревоги р (S/n) можно записать согласно (6.1)
р(S/s) = eric. P.(S/n) = erfc
или
р (S/s) — erfc (0* — А'), р (S/n) = erfc 0*, (7.1)
где 0* = (ж* — s)/a; А' = (sx — s)/o = As/a, 0* — порог, при котором принимается решение. Первое уравнение (7.1) аналогично уравнению (6.1) и определяет М-функцию дифференциальной чувствительности.
Как следует из уравнения (7.1), при оценке дифференциальной чувствительности вероятность попадания р {S/s) является функцией параметра А'. Значение А', при котором р (S/s) = 1/%, называется дифференциальным порогом, а соответствующее значение As* в выражении А'* = As*/a — разностным порогом.
Из равенства р (S/s) — У2 следует
0* = А' или х* = sx. (7.1а)
Таким образом, дифференциальному порогу А* = 0* соответствует порог х* = sx на оси стимулов.
Если х* = sx, то из выражения для 0* следует
As* = о0*. (7.2)
Величина 0* определяется допустимой вероятностью ложной тревоги р (S/n) и, следовательно, при выбранном критерии является заданной.
В случае немонотонных апостериорных плотностей / (x/s) и / (х/п) вероятности р (S/s) и р (S/n) имеют вид (3.1). Как было установлено в главе 6, в этом случае М-функция зависит от параметров
р = a/ax, А'= As/ov (7.3)
§ 2. Закон Вебера
Закон Вебера устанавливает зависимость между «ощутимым приращением» сигнала As (стимула) и величиной стимула, а именно имеет место соотношение
As/s = к = const. (7.4)
Под «ощутимым приращением» подразумевается значение As, которое обнаруживается с вероятностью, равной У2.
Функция Вебера As = "ф (s), определенная экспериментально, удовлетворяет линейному закону (7.4) только для некоторого диапазона интенсивности сигнала s. Для малых и больших значений s функция ip (s) не совпадает с прямой (7.2). Фехнер [12] и Гильфорд (см. [14]) предложили лучшую аппроксимацию экспериментальных кривых функцией вида
As = к (sq + s)p, (7.5)
где к, s0, р — константы, определяемые из опыта.
Закон Вебера определяет восприятие слабых сигналов на фоне собственных шумов. Следовательно, теория обнаружения не должна противоречить этому закону, и можно надеяться, пользуясь
ее результатами при некоторых дополнительных предположениях, получить закон Вебера.
Здесь предполагается, что закон Вебера связан с внутренними шумами нейронной системы. При этом не важно, где именно осуществляется преобразование вида (7.4): в рецепторах или нейронных цепочках более высокого уровня, ответственных за принятие решения (формирование порога Х0). Например, существует гипотеза, что преобразование вида (7.4) осуществляется непосредственно в рецепторах. Излагаемая ниже теория не противоречит этому предположению. Она просто пытается объяснить закон (7.4).
Для этого рассмотрим обнаружение приращения As сигнала s в собственном шуме нейронной системы.
Предполагается, что математическое ожидание т3 условной плотности вероятности / (x/s) равно s. Это означает, что среднее значение шума тп той части нейронной цепи, которая оказывается включенной при наличии сигнала, значительно меньше s. В общем случае зто условие может не выполняться.
На систему действует полезный сигнал s + As. Далее этот сигнал смешивается с собственным шумом нейронной системы, и для принятия решения о наличии или его отсутствии (двухальтернативная гипотеза) используется уже сигнал х (t), являющийся смесью s -f- As с собственным шумом нейронной системы. Естественно принять, что нейронная система работает по правилу отношения правдоподобия. Тогда следует рассмотреть две апостериорные плотности вероятности. Плотность вероятности при наличии шума определяется здесь функцией / (x/s), а при наличии полезного сигнала есть функция / (x/s + As). Примем, что апостериорные плотности вероятности — гауссовские. Тогда, в соответствии с уравнением (7.1а), можно записать
х* = ms = s + As. (7.6)
Уравнение (7.6) можно понять, обращаясь к рис. 7.1, где вверху изображены / (x/s) и / (x/s + As) и ниже, в соответствии с верхним рисунком, приведена М-функция.
Для абсолютного порога, когда s = 0, величина AS определяется на фоне собственных шумов. Для дифференциального порога величина As является приращением сигнала s, которое обнаруживается с вероятностью р (S + A S/s + As) = V2, равной заштрихованной площади под кривой / (x/s + As) на рис. 7.1.
Из уравнения (7.2) получаем
As* = об*.
Из этого выражения можно заключить, что если нейронная система использует правило отношения правдоподобия, то дифференциальный порог As* зависит от интенсивности внутреннего шума а и допустимой вероятности ложной тревоги (параметр 0*). Как и следует ожидать, разностный порог As* возрастает с увеличением внутреннего шума. С другой стороны, порог As* уменьшается
