Физические методы исследования белков и нуклеиновых кислот - Лазуркина Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Для этого очень удобно воспользоваться представлением об обратной решетке кристалла. Как будет показано ниже, при помощи обратной решетки удается в наиболее общей форме выразить геометрические условия дифракции рентгеновских лучей в кристалле, при этом существенно упрощается решение очень многих дифракционных задач.
д. Обратная решетка кристалла и геометрические условия дифракции
Обратная решетка определяется следующим образом. Пусть у нас решетка кристалла задается тремя векторами — а, Ь, с. Построим новую решетку на векторах а*, V и с*, для которых выполняются следующие условия. Во-первых, вектор а* перпендикулярен плоскости, где лежат два вектора прямой решетки & и с. Вектор Ь* соответственно перпендикулярен векторам прямой решетки а и с, а вектор с* — векторам а и Ь. Иными словами:
(а'Ь) = (а* с) = (Ь*а) = (&*с) = (с'а) = (с*Ь) = 0. (2)
Во-вторых, длины векторов обратной решетки определяются как обратные величины межплоскостных расстояний между гранями эле-
111
ментарной ячейки: а* =--; Ь* = ----; с*—-----. Иначе
^100 ^010 ^001
{а а*) = (№*) = (сс') = 1. (3)
Если мы имеем дело с ортогональной решеткой, эти соотношения упрощаются и длины векторов обратной решетин оказы-
Рис. 6. Схема вывода уравнения Брегга — Вульфа
ваются попросту равными обратным величинам длин соответствующих векторов прямой решетки.
Примем какой-либо из узлов обратной решетки за ее начало координат и направим координатные оси вдоль направлений ее основных векторов. Пронумеруем узлы, лежащие вдоль координатных осей; узлам, располагающимся в отрицательной части координатных осей, припишем отрицательные номера. Таким образом, мы как бы наносим определенный масштаб измерения на координатные оси обратной решетки. В этом масштабе можно определить координаты любого из узлов обратной решетки, условившись вести проектирование вдоль ребер ее элементарных параллелепипедов. При таком проектировании координаты узлов обратной решетки будут всегда только целыми числами (рис. 7).
'Проведем из начала координат обратной решетки вектор, конец которого совпадает с узлом, имеющим координаты h, k, I. Обозначим его как вектор Яш. При помощи простых формул аналитической геометрии можно доказать очень важную для кристаллографии теорему. Она состоит в том, что направление вектора Яш обратной решетки совпадает с направлением перпендикуляра к плоскостям прямой решетки, имеющим милле-ровские индексы h, k, I, а длина вектора Яш есть обратная величина их межплоскостного расстояния dhki.
Опираясь на эту теорему, можно дать геометрическую интерпретацию закона дифракции рентгеновских лучей в кристалле. Для этого рассмотрим систему параллельных плоскостей, имеющих миллеровские индексы h, k, I, от которых под определенным углом О отражается рентгеновский луч (рис. 8). Легко видеть, что угол между падающим и отраженным лучом всегда равен 2-fl’. Отложим вдоль направлений падающего и отраженного лучей отрезки длиной 1Д и соединим их концы. Замыкающий отрезок ВС будет перпендикулярен отражающим плоскостям, и, следовательно, он должен быть параллелен вектору Я обратной решетки с координатами hkl. Если длина замыкающего отрезка будет также равна или кратна длине этого вектора обратной решетки, то геометрическая зависимость между тремя векторами, на которых построен треугольник ABC, будет представлять
Рис. 7. Геометрическое представление закона дифракции рентгеновских лучей в кристаллах
собой не что иное, как одно из выражений закона дифракции. В самом деле
lAsinO ,
2
но Hhki = -г— , отсюда 2— sin ft = X.
ahkl П
Рис. 8. Схема вывода векторного уравнения дифракции рентгеновских лучей в кристаллах
В векторной форме эта зависимость может быть записана следующим образом:
±—Ь=пНш. (4)
(tlHhkl — ffnh,nk,nl — Hh'k'l,')i
где s0 и s — единичные векторы, направленные вдоль падающего и отраженного лучей соответственно.
Таким образом, уравнение (4) дает возможность предсказать, как будут ориентированы отраженные кристаллом лучи.
Практически это делается при помощи построения Эвальда [31, 32, 1 —11], которое состоит в следующем. Проведем в пространстве обратной решетки сферу радиуса 1Д так, чтобы она пересекла начало координат и чтобы радиус, проведенный из центра сферы в начало координат, совпадал с направлением первичного луча (см. рис. 7). Этот радиус дает нам пространственную ориентацию
вектора ^ . Пусть один из узлов обратной решетки попал на поверхность сферы (эту сферу мы условимся в дальнейшем называть сферой отражений или сферой Эвальда). Проведем из начала координат обратной решетки вектор, конец которого совпадает с узлом, оказавшимся на поверхности сферы. Пусть это будет вектор Нш- Пространственная ориентация двух векторов — и Ним. однозначно опре
