Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
значений случайных величин Y и X. Из математической статистики известно,
что при наличии значительной корреляции между переменными величинами X и
Y (гху>0,5) выборочное распределение коэффициента корреляции для большого
числа малых _________________________
выборок, взятых из нормально -И5 о +0,5 *1
распределяющейся генеральной
совокупности, значительно откло- Рис- 24- Кривые распределения эм-
няется от нормальной кривой. Об
r г ляции при 12 для разных зна-
этом наглядно свидетельствует Чений генерального параметра (р) рис. 24,
на котором изображены (по А. к. Митропольскому, 1971) кривые
распределения эмпирического коэффициента корреляции при и=12 для значений
генерального параметра р = 0; 0,4 и 0,8. Видно, что при значениях р,
приближающихся к единице, кривая распределения эмпирического коэффициента
корреляции становится все более асимметричной. Следовательно, выборочный
коэффициент корреляции не будет точной оценкой генерального параметра,
если он вычислен на малочисленной выборке и его абсолютное значение
превышает 0,5.
Учитывая это обстоятельство, Р. Фишер нашел более точный способ оценки
генерального параметра по значению выборочного коэффициента корреляции.
Этот способ сводится к замене гхв преобразованной величиной z, которая
связана с эмпирическим коэффициентом корреляции следующим образом:
z = - In 1 +г или z-1,15129 lg-1 + r
1 - r
1 - r
Распределение величины z является почти неизменным по форме, так как
мало зависит от объема выборки и от значения коэффициента корреляции в
генеральной совокупности. Если
215
эмпирический коэффициент корреляции меняет свое значение от ¦-1 до +1, то
величина z меняет свое значение от -сю до +оо, а ее распределение быстро
приближается к нормальному
(рис. 25) со средним значением z-- In (-------j
2 \ 1 *- Р 2 (л - 1) /
и дисперсией а2 =------------.
* п - 3
Рис. 25. Распределение величины г при л= 12 (по А. К.
Митропольскому, 1971)
Преобразование коэффициента корреляции в величину z производят по
специальной таблице (см. табл. XXII Приложений). В этой таблице
содержатся величины z, соответствующие значениям эмпирического
коэффициента корреляции г. Критерием достоверности показателя z является
следующее отношение:
tz = - z Yn - 3.
sz
Этот критерий используют в тех случаях, когда вместо коэффициента
корреляции берут соответствующее ему число z. Нулевая гипотеза
отвергается на принятом уровне значимости а и числе степеней свободы k-n-
2. Значения критических точек ist приведены в табл. V Приложений.
Применение z-преобразования позволяет с большей уверенностью
оценивать статистическую значимость выборочного коэффициента корреляции,
а также и разность между эмпирическими коэффициентами корреляции г\-r2-
dT, когда в этом возникает необходимость.
Проверим нулевую гипотезу в отношении z-преобразованного коэффициента
корреляции между жирномолочностью коров и их дочернего потомства, который
с поправкой на малый объем выборки оказался равным г= 0,620. В табл. XXII
Приложений для этой величины находится значение z=0,725, откуда критерий
^=0,725^12 - 3 =0,725-3,0 = 2,18. Эта величина оказывается
216
ниже критической точки tsi = 2,23 для k-\2-2=10 и а=5% (см. табл. V
Приложений). Следовательно, отвергнуть нулевую гипотезу на этом уровне
значимости нельзя. Этот вывод не согласуется с ранее сделанным
заключением о том, что г=0,620 можно считать величиной достоверной на 5%-
ном уровне значимости.
Минимальный объем выборки для точной оценки коэффициента корреляции.
Только что рассмотренный пример показывает, с какой осторожностью следует
делать заключение о статистической значимости выборочного коэффициента
корреляции, вычисленного на малообъемных выборках. Очевидно, предпочтение
в таких случаях следует отдавать оценке г по преобразованной величине z.
Можно рассчитать объем выборки для заданного значения коэффициента
корреляции, который был бы достаточен для опровержения нулевой гипотезы
(если корреляция между признаками У и X действительно существует). Для
этого служит следующая формула:
я=4- + 3, (151)
Z*
где п - искомый объем выборки; t-величина, заданная по принятому уровню
значимости (лучше для а= 1 %); z- преобразованный эмпирический
коэффициент корреляции.
Так, в отношении только что рассмотренного примера для а=1%, которому
соответствуют ^=2,58; г=0,598 и z=0,693, находим
п = >?_8>L 4-3 = 13,9+3 = 16,9=17.
(0,693)2 1 1
Это означает, что для окончательного решения вопроса о статистической
