Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
распределения позволяет избежать возможных ошибок в оценке генеральных
параметров по выборочным характеристикам.
Гипотезу о законе распределения можно проверить разными способами, в
частности с помощью коэффициентов асимметрии Л" и эксцесса Ех. При
нормальном распределении эти показатели равны нулю. В действительности
такое равенство почти не наблюдается. Выборочные показатели Ля и Ех,
определяемые по формулам (48) и (49), являются случайными величинами,
которые сопровождаются ошибками. В качестве критерия нормальности
распределения служат tAs и tex, являющиеся отношениями выборочных
коэффициентов As и Ех к их ошибкам репрезентативности, которые определяют
обычно по следующим приближенным формулам:
В связи с тем что выборочные распределения коэффициентов асимметрии и
эксцесса в случае нормальности распределения признака при не слишком
больших объемах выборок (особенно это характерно для Ех) могут быть
довольно далеки от нормального вида, использование квадратических ошибок
для Ля и Ех при п, меньшем нескольких сотен наблюдений, оказывается
рискованным. Поэтому более предпочтительным следует считать проверку
нормальности распределения по значениям этих коэффициентов с применением
таблиц, приведенных в Приложении (см. табл. XIV и XV). В них указаны
критические точки для разных уровней значимости а и объемов выборки п.
Если коэффициенты Ля и Ех превосходят критические точки, содержащиеся в
этих таблицах, гипотеза о нормальности распределения должна быть
отвергнута.
Так, в примере с изучением формы распределения длины хвоинок сосны
были получены значения Ля=-0,556 и Ех- = 0,872. Для а=1% и "=200 в табл.
XIV Приложений находим Л"^=0,403, а в табл. XV - Exst=0,832. Так как
эмпирически определенные величины Л" и Ех превышают табличные критические
значения, можно сделать вывод о наличии у этого распределения значимых
асимметрии и эксцесса.
1 Более точно ошибки коэффициентов /4s и Ех определяют по формулам
/6 (я - 1) _ f 24п (п - 2) (я - 3) (п - 5)
(л + 1)(п +3) И 8Ех=я\/ (л~1)3(л+3)(л+5) '
(97)
(98)
137
VI.2. КРИТЕРИЙ ХИ-КВАДРАТ ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ)
Проверку гипотез о законах распределения также производят с помощью
специально выработанных критериев. Один из них, нашедший широкое
применение в биометрии,- критерий согласия, или соответствия %2
(предложен в 1900 г. К. Пирсоном). Этот критерий представляет собой сумму
квадратов отклонений эмпирических частот f от вычисленных или ожидаемых
частот отнесенную к теоретическим частотам, т. е.
*•-2-^-2 (f)- <">
i-i 3 i-iw '
Символ х2 не является квадратом какого-то числа, а выражает лишь
исходную величину, определяемую данной формулой. Буквой d обозначена
разность между эмпирическими и вычисленными частотами.
Величина критерия %2 всегда положительна, так как отклонения
эмпирических частот от ожидаемых или вычисленных частот возведены в
квадрат. Поэтому при определении разности d знаки чисел можно не учиты-
Рис 22. Функции зс2-рас- вать, вычитая из больших значений
пределении в зависимости меньшие. При полном совпадении эм-
от разных чисел степени лирических частот с вычисленными или
свободы & ожидаемыми частотами 2(Д--fi')=0 и
зс2=о.
Распределение вероятных значений случайной величины %2 является
непрерывным и асимметричным (рис. 22), оно зависит от числа степеней
свободы k и приближается к нормальной кривой по мере увеличения числа
испытаний п. Поэтому применение критерия %2 к оценке дискретных
распределений сопряжено с некоторыми погрешностями, которые сказываются
на его величине, особенно при малых выборках.
Для того чтобы оценки были более точными, выборка, распределяемая в
вариационный ряд, должна содержать не менее 50 вариант. Поэтому часто
считают, что применение критерия X2 требует, чтобы в крайних классах
вариационного ряда содержалось не менее пяти вариант. Если в крайних
классах содержится меньше чем пять вариант, то вычисленные и эмпирические
частоты объединяются до указанного минимума и соответственно уменьшается
число классов вариационного ряда *.
1 Существует инаи точка зрении на минимальные значении теоретических
частот f', которые могут находиться в разных классах вариационного ряда.
Согласно ей, при п>50 и одно из значений {' может быть снижено да-
138
тисло степеней свободы устанавливают по вторичному числу ;лассов с учетом
ограничений свободы вариации, которая в >азных случаях бывает различной.
Так, при оценке эмпирических распределений, следующих нормальному закону,
число ггепеней свободы k-N-3 (с учетом трех ограничений свободы зариации:
п, х и sx). Если же оценке подлежит распределение, следующее закону
Пуассона, число степеней свободы уменьшайся на единицу, т. е. k-N-2 (с
