Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
d = ^dl =(^i - лг2).
п
Ошибку средней разности й, обозначаемую символом Sa, определяют по
формулам
¦ l/ . у/
V п(п-1) f
п (П - 1)
или
(79)
(80)
118
Если члены генеральной совокупности распределяются нормально, то и
разности между ними будут распределяться нормально и случайная величина
t=(d-D)/sj будет иметь распределение Стьюдента с k - ti-1 степенями
свободы. Я0-гипотеза сводится к предположению, что fii-|А2=?-0. Отсюда /-
критерий выразится в виде отношения средней разности к своей ошибке, т.
е. t-3fsj• Если t^tst для принятого уровня значимости и числа степеней
свободы k-ti-1, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута.
Пример 3. На протяжении ряда лет в условиях Одесской опытной станции
изучали влияние черного и апрельского пара на урожай ржи. Результаты
опыта учитывали по массе 1000 зерен (табл. 36).
Таблица 36
Масса 1000 зерен по годам опыта
Посев на пару 1898 1899 1901 1902 1903 1904 Среднее
Апрельскому 31,6 24,2, 24,8 29,1 29,9 31.0 28,43
Черному 31,1 24,0 24,6 28,6 29,1 30.1 27,91
Разность dt 0,5 0,2 0,2 0,5 0,8 0,9 5=0,52
Квадрат разности rfj2 0,25 0,04 0,04 0,25 0,64 0,81 2d<s=2,03
В табл. 36 приведены выборки с попарно связанными вариантами:
несомненно, что каждый год имел свои специфические условия, которые
одинаково влияли на урожай ржи, посеянной как по черному, так и по
апрельскому пару. Поэтому обрабатывать полученные данные нужно с учетом
тех условий, в которых проводили эксперимент. Из табл. 36 видно, что
урожай ржи по апрельскому пару несколько выше, чем по черному. Средняя
разность c?=2d;/n=3,1/6 = 0,52 г. Определяем ошибку этой разности:
s3=j/ - (°, 52)2]=|/^-°'^°^--=К0Ж4=:0,12г.
Критерий ^ф = -^_==4,33. Для /г = 6-1 = 5 и а=1% f,t=4,03
(см. табл. V Приложений). Так как t^>tst, то Я0-гипотезу отвергают на
высоком уровне значимости (0,001 <Р<0,01). Следовательно, с вероятностью
Р>0,99 можно утверждать, что разница между сравниваемыми выборками
статистически достоверна.
Пример 4. В результате семилетних исследований урожайности ячменя и
овса в условиях нечерноземной зоны РСФСР были получены следующие данные
(табл. 37).
119
Таблица 37
Годы Урожай, ц/га Разница dt~d (di-d)*
ячменя овса
1928 7,7 8,26 -0,56 -1,54 2,37
1929 9,0 7,22 1,78 0,80 0,64
1930 9,4 8,43 0,97 ---0,01 0,00
1931 7,4 5,57 1,83 0,85 0,72
1932 7,4 6,35 1,05 0,07 0,00
1933 10,9 8,00 2,90 1,92 3,69
1934 8,0 9,13 --- 1,13 -2,11 4,45
Сумма 59,8 52,96 +6,84 --- 11,87
Среднее 8,54 7,56 0,98 --- ---
Разница между средним урожаем ячменя и овса составила
8,54-7,56 = 0,98 ц/га. Ошибка этой разницы - =
=1/0,283=0,53. Отсюда ^=0,98/0,53=1,85. Эта величина не превышает
критический уровень fs; = 2,45 для 5%-ного уровня значимости и числа
степеней свободы k=(7-1)=6. Следовательно, нулевую гипотезу здесь
отбросить нельзя.
Оценку средней разности можно произвести по доверительному интервалу,
построенному на основании полученной разности S и ее ошибки S3 . Если
нижняя граница доверительного интервала окажется с положительным знаком,
это будет свидетельствовать о достоверности разницы. Если же нижняя
граница доверительного интервала будет с отрицательным знаком, это будет
служить указанием на случайный характер наблюдаемой средней разности.
Так, в примере 3 d±tsa =0,52± 1,96• 0,12=0,52±0,24. Нижняя граница
95%-ного доверительного интервала (0,52-0,24=0,28) оказалась с
положительным знаком, тогда как в примере 4 <?±^=0,98+1,96-0,53 =
0,98±1,04 и нижняя граница доверительного интервала (0,98-1,04=-0,06)
оказалась с отрицательным знаком, что не дает основания для отклонения
нулевой гипотезы.
Оценка разности между долями. Выборочная доля зависит от числа единиц
в выборке, имеющих учитываемый признак, а общее число таких единиц в
генеральной совокупности определяет генеральную долю Р. Оценкой разности
между генеральными долями Р\-Pz=D служит разность между выборочными
долями р\-p2=d. Отношение этой разности к своей ошибке дает случайную
величину t-d/sdp, которая
1 ОП
следует /-распределению Стьюдента. Я0-гипотезу, или предположение о том,
что Р1-Р2, отвергают, если t^tst для ? = "i + + п2-2 и принятого уровня
значимости а. Ошибка разности между долями, взятыми из приблизительно
равновеликих выборок (когда численности групп различаются не более чем на
25%), вычисляют по формуле
й -if PlO-Pi) I P2p-P2)_. / Pl4l J P2?2
P V rii n2 V ni П2
где <7=1-p. Если доли выражены в процентах от общего числа наблюдений,
ошибку разности между ними определяют по формуле
