Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Выбор того или иного порога доверительной вероятности исследователь
осуществляет исходя из практических соображений той ответственности, с
какой делаются выводы о генеральных параметрах.
С доверительной вероятностью тесно связан уровень значимости а, под
которым понимают разность а=1-Р. Геометрически (рис. 19) эта величина
представляет площадь под нормальной кривой выборочного распределения
некоторой статистики, выходящую за пределы той его части, которая
включает Р% этой площади. Так, для
Рис. 19. 95%-ный доверительный интервал в границах от х-1,96s- до х +
1,96s-
нормальной кривой
/=1,96 отклонения от центра нормального распределения включают 95% его
площади. За пределами этих границ по обе стороны находится по 2,5%
указанной площади, составляя тем самым 5%-ный уровень значимости.
Учитывая, что выборочное распределение некоторой статистики, например
средней арифметической величины, при достаточно больших объемах выборок
имеет нормальную форму, можно записать выражение
Это выражение означает, что вероятность того, что средняя х, найденная
по выборке, отклонится случайным образом от центра ц на какую-то долю
квадратической ошибки sj, может быть оценена через нормированное значение
по таблицам нормального распределения. Отсюда можно утверждать, что
генеральная средняя ц находится с этой вероятностью в интервале
107
X - /^<t"-< x -\-ts- или
*=-^-<P<*+-?l-. (70)
у п у п
Величины I и sx определяют по выборке, a t зависит только от одного из
трех значений доверительной вероятности 0,95; 0,99; 0,999, принимая
величины 1,96; 2,58; 3,29.
Пример 7. Распределение кальция в сыворотке крови обезьян, как было
установлено выше, характеризуется следующими выборочными показателями: х-
11,94 мг%; s*=l,27; л=100. Построим 95%-ный доверительный интервал для
генеральной средней |х этого распределения:
11,94- 1,96^-<>< 11,94+1,96^- или 11,70<р<12,18.
Следовательно, с вероятностью Р=0,95, или 95%, можно утверждать, что
генеральная средняя данного нормального распределения находится между
11,70 и 12,18 мг%. Это довольно узкий доверительный интервал. Можно
утверждать, что выборочная средняя х- 11,94 мг% является достаточно
точной оценкой генерального параметра. На это указывает и показатель
точности средней
Cs = 100--'-27^= 1,03 %.
11,94 /0
Доверительный интервал для генеральной дисперсии и стандартного
отклонения. Доверительный интервал для дисперсии нормально
распределяющейся генеральной совокупности можно представить в таком виде:
Рн^о2х^Рв, где P"=sj-ts*X уУЩп- нижняя, a Ps=s2x-\-tSxV2/n - верхняя
границы доверительного интервала.
Пример 8. Определить границы 95%-ного доверительного интервала для
генеральной дисперсии распределения кальция (мг%) в сыворотке крови
обезьян. Для этого распределения л=100 и s2*=l,60. Ошибка выборочной
дисперсии s*" = l,60x ХУГ2Д66== 1.60-0,1414=0,226. Отсюда Р"= 1,60-1,96-
0,226= = 1,60-0,44 = 1,16 и Рв= 1,60 + 0,44=2,04. Границы доверительного
интервала для стандартного отклонения оказываются следующие:
Яи=}/Л1,16= 1,08 и Рв=|^2,04=1,43.
Более точно доверительный интервал для генеральной дисперсии строят с
применением %2(хи-квадрат)-критерия Пирсона (см. гл. V). Критические
(процентные) точки для этого критерия приведены в табл. VII Приложений.
Они рассчитаны для
103
разных уровней значимости а и соответствующих порогов доверительной
вероятности Р.
При использовании критерия х2 для построения доверительного интервала
применяют двусторонний уровень значимости, т. е. а = 2,5% (для Рн) и Р =
100-2,5 = 97,5% (для Рв) 95%-ного интервала. Границы 95%-ного
доверительного интервала определяют по формулам
р " ("-i)4
* и
Н '
2 в 2
У-2,5
"Х.07,5
где s2* - выборочная дисперсия, п - объем выборки.
Пример 9. В рассмотренном примере 8 применим описанный способ к
определению границ 95%-ного доверительного интервала для генеральной
дисперсии ряда распределения кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян.
Имеем /г= 100; (п-1)52ж= = 991,60=158,40. В табл. VII Приложений для п-1
= 99 и а = 2,5 % находим %2= 128,42 и для Р = 97,5% -х2 = 73,36. Отсюда
Р"= 158,40/128,42= 1,23 и Рв = 158,40/73,36=2,16. Границы доверительного
интервала для стандартного отклонения оказы-
ваются следующими: Я"=1/ 1,23=1,11; РВ=У 2,16= 1,47.
Доверительный интервал для коэффициента вариации. Границы
доверительного интервала для генерального коэффициента вариации Cv
определяют по следующим формулам:
Cv г, Cv
Р
1 + к / 1 + 2Ct/2 Б 1 - /С V 1 4-2Cv*
