Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
являются приближенными оценками генеральных параметров. Это величины
случайные, варьирующие вокруг своих параметров. Оценки ге-
4*
99
неральных параметров по выборочным характеристикам могут быть точечными и
интервальными.
Генеральные характеристики, или параметры, принято обозначать буквами
греческого алфавита, а выборочные характеристики- латинского. Выборочная
средняя х является оценкой генеральной средней ц, выборочная дисперсия
sx2-оценкой генеральной дисперсии ах2, а среднее квадратическое
отклонение sx - оценкой стандартного отклонения ах, характеризующего
генеральную совокупность. Это точечные оценки, представляющие собой не
интервалы, а числа ("точки"), вычисляемые по случайной выборке.
Требования, предъявляемые к точечным оценкам. Выборочные
характеристики как величины случайные, варьирующие вокруг своих
генеральных параметров, в основном не совпадают с ними по абсолютной
величине. Оценки должны удовлетворять по меньшей мере следующим
требованиям: быть состоятельными, эффективными и несмещенными.
Для пояснения смысла этих свойств необходимо рассмотреть понятие
выборочного распределения некоторой статистики. Пусть из бесконечно
большой генеральной совокупности случайным образом извлекается большое
число выборок, каждая из которых включает одно и то же количество
наблюдений п. В каждой из этих выборок вычисляют значение статистики
и. В силу случайных причин эти величины будут варьировать, образуя
некоторое распределение, которое называют выборочным распределением
статистики.
В тех случаях, когда распределение анализируемого признака ие слишком
сильно отличается от нормального вида, а объем выборок не слишком мал,
очень часто выборочные распределения многих статистик оказываются
нормальными. Поэтому их свойства можно описать только двумя параметрами:
математическим ожиданием статистики ци и ее дисперсией оа2-
Точечная оценка статистики называется состоятельной, если при
увеличении объема выборки она стремится к величине генерального
параметра. Так, для генеральной средней ц состоятельной оценкой является
выборочная средняя х, для генеральной дисперсии Ох2 состоятельной оценкой
будет выборочная дисперсия sx2. Точечная оценка называется эффективной,
если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по
сравнению с другими аналогичными оценками, т. е. обнаруживает наименьшую
случайную вариацию. Так, из трех показателей, описывающих положение
центра нормального распределения некоторого признака X (средней
арифметической, медианы и моды), наиболее эффективной оказывается первая
х, наименее эффективной -последняя Мо, так как для дисперсий этих оценок
характерно о*х<о2ме<о2м0. Оценка называется несмещенной, если
математическое ожидание ее выбороч-
100
ного распределения совпадает со значением генерального параметра.
Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней,
тогда как выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку
относительно генерального параметра на величину п/(п-1). Чтобы получить
несмещенную оценку генеральной дисперсии, нужно при вычислении выборочной
дисперсии, а следовательно, и среднего квадратического отклонения сумму
квадратов отклонений (девиату) относить не к числу наблюдений п, а к
числу степеней свободы (k=n-1).
Статистические ошибки. Выборочные характеристики, как правило, не
совпадают по абсолютной величине с соответствующими генеральными
параметрами. Величину отклонения выборочного показателя от его
генерального параметра называют статистической ошибкой или ошибкой
репрезентативности. Статистические ошибки присущи только выборочным
характеристикам, они возникают в процессе отбора вариант из генеральной
совокупности.
Для измерения ошибки репрезентативности некоторой статистики может
служить дисперсия выборочного распределения ои2 или найденное на ее
основе значение среднего квадратического отклонения, которое называют
также квадратической ошибкой статистики ои• Его величина показывает,
насколько велика случайная вариация отдельных оценок по отношению к
центру выборочного распределения, совпадающего со значением генерального
параметра, если статистика несмещенная.
Из теории математической статистики известно, что в том случае, когда
распределение исходного признака X не слишком сильно отличается от
нормального вида, а объем выборки не слишком мал (на практике п^ 30),
квадратическая ошибка репрезентативности средней арифметической может
быть найдена по формуле
Эта формула трансформируется в несколько рабочих формул, из которых
особенно удобны следующие:
(52)
п (п - 1)
S//(*/-*)2
п(п~ 1)
(53)
1 Ошибку средней арифметической обозначают также буквой т.
101
Приведенные формулы применяют при вычислении ошибки средней
арифметической способом произведений. Они показывают, что при простой
случайной выборке величина ошибки зависит как от объема выборки, так и от
