Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
вычислим среднюю арифметическую:
х*=( 1/6) (3,5 + 4,5 + 7,5 + 5,0 + 5,5 + 4,0)=30/6= 5.
Умножив полученную величину на А - 2, находим *=5-2=10.
3. Сумма произведений отклонений вариант от их средней
арифметической на соответствующие им частоты равна нулю1.
Доказательство: 21 fi (*t - ¦*)] = 2 /Л- - *2f,-xn - хп-0.
Пример 4. Выше найдено, что средняя из совокупности шести вариант -7,
9, 15, 10, 11 и 8-равна 10. Определим сумму отклонений вариант от этой
средней: (7-10) + (9-10) + (15- -10) +(10-10) +(11-10) +(8- Ю)=- 6+6=0.
4. Сумма квадратов отклонений вариант от их средней х меньше суммы
квадратов отклонений тех же вариант от любой другой величины А, не равной
х, т. е.
2 (Xi - х)2 < 2(*/ - Л)2.
Пример 5. Найдем сумму квадратов отклонений каждого члена данной
совокупности от их средней х, равной 10: 1,(Х{- -х)2- (7-10) 2+ (9-10) 2+
(15-10) 2+ (10-10) 2+ (11-10)2 + + (8-10) 2=9+1+25+1+4=40. Теперь отыщем
сумму квадратов отклонений тех же вариант от А, равного 8: (7-8)2+ + (9-
8)2+ ...+(8-8)2 = 64.
Рассмотренные свойства средней арифметической позволяют
преобразовывать многозначные и дробные числа, что облег-
1 Под отклонением понимают^ разность между отдельными вариантами и
их средней величиной, т, е, (xt-х),
40
чает работу по вычислению статистических характеристик (см. табл. 9).
Средняя гармоническая хн. Эту характеристику в отличие от средней
арифметической, представляющей сумму вариант, отнесенную к нх числу,
определяют как сумму обратных зна~ чений вариант, деленную на их число.
Для определения простой и взвешенной средней гармонической применяют
формулы
в которых п - число произведенных наблюдений; Xi - значения вариант; fi -
частоты.
Чтобы уяснить суть средней гармонической, удобнее начать с
рассмотрения соответствующих конкретных данных.
Пример 6. Пять доярок в течение 1 ч (60 мин) надоили следующее
количество молока: первая-10 л, вторая - 20,
третья - 25, четвертая - 30 и пятая - 20 л; всего 105 л за 1ч. Оценим эти
итоги с помощью х и хн- Получим следующие результаты: х=
(10+20+25+30+20): 5=21 л;
* ------------5------------= _5_ =18 31 л>
" 1/10 + 1/20 +1/25 +1/30 + 1/20 0,273
Разница между х и хн весьма заметна. Какая же из этих средних верна?
Возвращаясь к примеру, можно отметить, что, используя х, можно легко
определить общее количество надоенного пятью доярками молока: 21-5= 105
л. Попробуем с помощью х вычислить время, затраченное в среднем одной
дояркой на выдаивание 1 л молока. Получим результат: 60/21 - *=2,86
мин/л. Верно ли это? Проверим результат: первая доярка на выдаивание 1 л
молока затратила 60/10=6 мин, вторая- 60/20=3, третья - 2,4, четвертая -
2, пятая -3 мин. В среднем получается (6+3+2,4+2+3)/5= 16,4/5=3,38 мин/л.
Видно, что средняя арифметическая непригодна для определения среднего
времени, затрачиваемого на выдаивание 1 л молока. Другой результат
получается с применением средней гармонической: 60:18,31 = 3,28 мин/л.
Это точный результат.
Из приведенного примера видно, что средняя гармоническая применяется
тогда, когда результаты наблюдений обнаруживают обратную зависимость,
заданы обратными значениями вариант.
Средняя квадратическая xq. Для более точной числовой характеристики
мер площади применяется средняя квадратическая. Этот показатель вычисляют
по формулам
- п
Xh- I'OlXi)
(7а) и xh =
П
2 U1/-*;)/, I'
п
или при повторяемости отдельных вариант
(86)
41
Пример 7. Измеряли площадь корзинок у десяти наугад отобранных
растений подсолнечника. Результаты измерений распределились следующим
образом:
Площадь корзинок xit см2 50 95 130 175 200 220
Число случаев ft ... . 1 I 2 3 2 1
Определим средний размер этого признака. Предварительно находим
2(/t*i2) = l-502+l-952+2-1302+3-1752+2-2002+ + 1 -2202=265600. Отсюда
jcg=265600/10= 163,0 см2. Средняя арифметическая в таких случаях
оказывается меньше средней квадратической: х- (1 • 50 + 1 -95 + 2•
130 + 3-175 + 2-200 +
+ 1-220)/10= 1550/10= 155 см2.
Средняя кубическая xq. В качестве характеристики объемных признаков
более точной является средняя кубическая, определяемая по формулам
/1*Г /о \ или при повт°Ряе* J5/2(Л*?)
jjr __1/ ----- (9а) мости отдельных ^__1/------------------(96)
с ' п вариант с г п
Пример 8. Измеряли объем наугад отобранных 18 куриных яиц (учитывали
полусумму большого и малого диаметра). Результаты измерений оказались
следующими:
Диаметр яиц Хи см........ 4,7 4,8 5,0 5,4 5,6 6,0
Число случаев ft......... 2 4 6 3 2 1
Определим средний объем яиц по их диаметрам. Предварительно вычислим
2/^=2 (4,7)3 + 4 (4,8)3+ 6 (5,0)з+з (5,4)*+2 (5,6)3+1 (6,0)3=
= 2419,638.
Отсюда *Q=-^2419,638/18=^134,42=5,12.
