Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
к книгам по многомерной статистике.
312
Второе обстоятельство, которое следует учитывать, касается
вычислительных аспектов многомерной статистики. Действия над векторами и
матрицами в основном несложны, хотя и трудоемки. Отдельные матричные
вычисления (нахождение определителей, обратных матриц, собственных чисел
и векторов) часто описываются в книгах по многомерной статистике [4, 11,
17] 1, где даны рекомендации либо по ручному счету с применением
калькуляторов, либо по составлению программ для ЭВМ. Матричные операции,
как правило, входят в программное математическое обеспечение современных
компьютеров.
Многомерные методы - аналоги одномерных. Среди таких приемов анализа
многомерных данных наибольшее значение имеют проверки статистических
гипотез по отношению к векторам средних и ковариационным матрицам,
которые получены по двум или нескольким выборкам, извлеченным из двух или
нескольких генеральных совокупностей. Так, при двух выборках проверку
достоверности различий векторов средних осуществляют при помощи так
называемого Т^-критерия Хотеллинга, похожего по конструкции на свой
одномерный аналог - /-критерий Стьюдента. При наличии нескольких выборок,
в которых найдены векторы средних, их однородность проверяют с
применением многомерного аналога дисперсионного анализа. Для
межвыборочной изменчивости определяют межгрупповую ковариационную
матрицу, которую сопоставляют с такой же внутригрупповой матрицей в
конструкции специального критерия, например критерия Уилкса. Это
аналогично сравнению двух дисперсий (межгрупповой и внутригрупповой),
аналогами которых являются эти ковариационные матрицы.
При использовании других многомерных методов очень распространенным
является прием нахождения некоторого нового признака у на базе набора
исходных переменных Xi в виде линейной конструкции
y = ClXl + C'lX2-\-.'.-\-CmXm. (*)
Коэффициенты Ci вычисляют таким образом, чтобы обеспечить признаку у
определенные желаемые свойства, которых не имеют признаки Xt. Например,
для разделения двух генеральных совокупностей (двух подвидов животных,
больных и здоровых людей и т. д.) по комплексу признаков х коэффициенты
с,- должны быть найдены так, чтобы у имел минимальную трансгрессию своих
величин в этих генеральных совокупностях. Значения коэффициентов Ci у
разных признаков позволяют интерпретировать смысл, который имеет новый
признак у, т. е. описать те комплек-
1 Цифрами в квадратных скобках указаны литературные источники в
списке рекомендуемой литературы к послесловию редактора,
313
сы значений переменных х, которые свойственны его большим и малым
величинам.
Методы анализа внутригрупповой изменчивости. Приемы многомерного
анализа данных, относящиеся к этому разделу, направлены на выявление
закономерностей внутригрупповой вариации и коррелированности больших
наборов переменных х.
Наиболее близок к традиционно используемым методам парной корреляции и
регрессии раздел, включающий в себя множественную корреляцию и регрессию,
который кратко рассмотрен в настоящем пособии. Уравнение множественной
регрессии можно рассматривать как линейную конструкцию типа (*),
позволяющую находить на базе большого набора исходных признаков х такую
новую переменную, которая была бы максимально скоррелирована с (т-И)-м
признаком хт+и Эта корреляция называется множественной. По значениям
коэффициентов с/, которые в данном случае являются коэффициентами
множественной регресг сии, можно из всего набора тп признаков х выделить
только п из них, которые обнаруживают наибольшие значения этих
коэффициентов. По уменьшенному набору признаков х можно построить новое
уравнение регрессии, основанное на меньшем числе переменных, которое
будет более компактным.
Дальнейшим развитием методов множественной регрессии и корреляции
является анализ канонических корреляций и величин. Здесь весь набор
исходных признаков х делят в соответствии с качественным содержанием
задачи на две части, включающие п и тп-п признаков. Необходимо выявить
закономерности признаков, входящих в разные их наборы. Для каждого из них
определяется новый признак:
у=Ci xt -f- с2х2 -f-... 4* спхп, у'п ~ сп+1хп+1 "Ь <?"+
2хп+2 + • • • + cmXm'
Переменные уг и у/ должны быть скоррелированы между собой максимально
тесно. Смысл переменных у может быть истолкован по значениям
коэффициентов с,-. Таким образом, можно считать, что у\ и у/ описывают
наиболее важную закономерность коррелированности, которая проявляется в
статистических связях признаков Хи х2, .... хп и хп+и хп+2, ..., хт.
Вместе с тем эта закономерность может оказаться не единственной, которую
следует рассматривать. Тогда можно выделить другие новые переменные: у2 и
у2, у3 и уг и т. д. Новые признаки у называют каноническими переменными,
а коэффициенты корреляции между ними - каноническими корреляциями.
Способ анализа корреляций большого набора признаков х может быть иным,
