Оценка запасов подземных вод инфильтрационного водозабора - Кусковский В.С.
ISBN 5-7692-0490-7
Скачать (прямая ссылка):
При использовании метода МПН уравнению (6) ставится в соответствие следующая система разностных уравнений: вдоль оси х (по строкам)
И Н^Х/\ ~Н[ = ^хЩ+1П + АгЩ\ + WU вдоль оси у (по столбцам)
м
Если сложить эти уравнения, получим
Ht-Щ м
М'-
------'-Я- = ^-(Л2Я?+1 + 2А,Н?+1/2 + Л2Я") + W.
0,5х А2 2 11 1 11 2 У
Раскрывая операторы Aj и Л2, находим, что при Я?+1/2 и Щ коэффици-
енты будут соответственно
С-*41 и ( ц 2М"
[0,5т h2 J
. Таким образом, схема
МПН, как и ДОС, не является безусловно устойчивой в норме С [18]. Решения методом МПН осциллируют, в частности, в задачах фильтрации к скважинам [22].
При использовании метода ИМПН уравнение (6) аппроксимируется следующей системой разностных уравнений: вдоль оси х (по строкам)
= t ЯЙУ2+ -4+
+ (1 - а)(А,Я^- + А2Ну)\,
вдоль оси у (по столбцам)
= + Hf:x]j + Я$, + Яй -4Я,у+1) +
+ (1-о)(Л1Я, + Л2#у)],
где Ну =Щ, Щ+1 = Яи+1’*+1, Я*+1/2 = Яп+1’*+1/2,Ж = 0, fc - номер итерации, А: -+-1/2 — номер промежуточной итерации. Таким образом, при счете по строкам и по столбцам используется практически неявная разностная схема. По строкам значение Я, 7+1 берется с предыдущей итерации, где оно известно, т.е. Hi J+х = j, а при счете по столбцам значение Йм у берется с (к + 1/2)-й Итерации, т.е. Я(+1 ¦ = ЯД^1/2, которое уже рассчитано. Итерационный процесс заканчивается на (и + 1)-м шаге по времени при
условии шах
ну-и)
< е, ще е — заданная точность итерационного процес-
са. Точность решения методом ИМПН при о = 1 почти для всех 1 < А < 75 очень высока, и это решение практически совпадает с аналитическим решением задачи.
При о = 0,5 длят выполнения принципа максимума необходимо, чтобы коэффициент при Ну в правой части разностных уравнений был больше
нуля: — - (1 - ст) > 0. Отсюда следует ——°1Т— < 0,25. Если это условие т /г ц/Г
не выполняется, то картина течения вблизи точек резких возмущений, например, скважин, сильно искажается.
Опыт решения различных задач фильтрации для реальных объектов [22] показал, что методы ДОС, МПН требуют выбора малого шага по времени х, что приводит к большим затратам машинного времени. Использование метода ИМПН (а = 1) позволяет проводить расчеты с более крупными шагами. Если требуется более детальное описание формирования воронок депрессии во времени, то шаг т можно принять переменным, уменьшая его в начале работы скважины и после прекращения откачки, когда начинается восстановление напора. Опыт расчетов подземных водозаборов также показал, что следует использовать метод ИМПН при ст = 1, так как симметричные схемы (ст = 0,5) при больших значениях А. приводят к существенным осцилляциям численного решения.
В настоящее время при прогнозировании режима уровней и напоров подземных вод для реальных водохозяйственных объектов со сложными гидрогеологическими условиями широко применяются конечно-разностные методы. Они основаны на замене дифференциальных уравнений и краевых условий аппроксимирующей их системой уравнений в конечных разностях. Значения искомых функций вычисляются при этом на дискретном множестве точек, называемом разностной сеткой. Наибольшее распространение получили неявные методы, которые являются абсолютно устойчивыми [18].
Исходная область фильтрации покрывается прямоугольной неравномерной сеткой. Вводятся индексы /, j и шаги /,• (по оси OX), hj (по оси OY) и т„ (по оси времени t).
Участки границы аппроксимируются ломаной линией с отрезками, параллельными координатным осям, или диагональными отрезками.
Каждому узлу области моделирования ставится в соответствие площадка Sy, ограниченная частями прямых, проходящих через середины отрезков, соединяющих данный узел с соседними. Для каждой площадки Sy уравнение (1) аппроксимируется разностным уравнением в балансовой форме.
Рассмотрим внутренний узел области. Для него Sy = (/; + + fy_i)/4, а уравнению (1)
ставятся в соответствие два разностных уравнения:
вдоль оси ОХ (по строкам)
я**1'2-я,
-----;----- У
+ 07/
U+1/2
: (Qi+\/2J ~ 9/-1/2,
, hJ + hJ-l J' У-
(7)
где единичные потоки qi± 1/2j, Qij±\-/i определяются на основе закона Дарси в виде
г* _ %jf У
*/+1/2,У “ ---—Т----------->
ч
4i-1/2J - ^i-\/2,j
/-1
ffk ттк+1/2
¦“/,/+1 ~ Hij 9i,j+1/2 - i,j+\/2 ^ ->
%j-1/2 - MiJ-1/2 T !
У-1
