Оценка запасов подземных вод инфильтрационного водозабора - Кусковский В.С.
ISBN 5-7692-0490-7
Скачать (прямая ссылка):
ЭЯ Э Г.,ЭЯ
“¦эГ'Д" аГ
г \
э
+ ду
Ъу
+ W(x,y,t) (1)
при начальном условии
Н(х,у,0) = Н0(х,у) (2)
и граничных условиях разного рода на отдельных участках границы:
H(x,y,t)|Fi = HTi(x,y,t) — условие 1-го рода, (3)
= Qr, (х,у,0 — условие 2-го рода, (4)
мШ-
дп
,,ЭЯ
М — дп
Я — Я
= М —-у в — условие 3-го рода. (5)
Здесь Г1 + Г2 + Г3 = Г — граница области моделирования, п — внутренняя нормаль к границе, ц(*>.у) и М(х,у,Н) — соответственно коэффициенты водоотдачи и водопроводимости водоносного пласта, Щх>у,$ — интенсивность отбора (инфильтрации) на единицу площади, QTl — удельный расход, ДL(x,y,t) — параметр фильтрационного сопротивления ложа водоема (водотоков), HB(x,y,t) — уровень воды в водоеме (водотоке).
Границы области фильтрации могут быть проведены по урезам воды в реках, озерах, водохранилищах, болотах; по линиям примыкания водоносных пластов к водоупорным породам; по линиям естественных уровней и напоров, остающихся неизменными под влиянием различных искусственных факторов.
На участках границы области моделирования заданными считаются значения либо напоров грунтовых вод (условие 1-го рода (3)), либо расходов (условие 2-го рода (4)), либо уровня воды в водоеме и фильтрационного сопротивления (условие 3-го рода (5), учитывающее несовершенство водоемов).
Решение задачи ищется в области с произвольной конфигурацией внешних и внутренних границ с учетом неоднородности грунтов, а в случае безнапорного или напорно-безнапорного водоносного пласта коэффициент водопроводимости зависит еще и от уровня грунтовых вод, т.е. М = М(х,у,Н). При этом уравнение (1) становится нелинейным. Учитывается изменение инфильтрации как в пространстве, так и во времени, т.е. W{x,y,t).
6.2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим для простоты линейное двумерное уравнение с постоянными коэффициентами:
дН
,_ = М
г Ь2Н д2Н дх2 + ду2
+ W.
(6)
Для его численного решения чаще всего используются три разностные схемы:
1) локально-одномерная схема (ДОС) [18],
2) метод переменных направлений (МПН) Писмана — Рекфорда [18,19],
3) модифицированный итерационный метод переменных направлений (ИМПН) [20].
Предположим, что разностная сетка является равномерной с шагом А, шаг по времени — х, номер шага по времени — п.
Обозначим Aj, Л2 следующие операторы:
ЛГГЛ+1 ZJrt+l О 1 17Л+1
I*1 ij = tli+l J -2Му +-Я/_и,
Лгг/1+1 гтп+1 11п+1 ?Гл+1
2Н у = hi j+l - Ш у + п U_J.
При использовании ДОС уравнению (6) ставится в соответствие следующая система разностных уравнений:
вдоль оси х (по строкам)
ТТП+1/2 _ ттп
1 = ^[оЛ,# ?+1/2 + (1 - + Щ,,
X п
где 0,5 < а < 1 — весовой коэффициент, вдоль оси у (по столбцам)
п-2------2----= ^[eA2tff‘ +(1-о)А2Я'[+1/2] + Ж2 (W= + W2).
Т ft
Погрешность аппроксимации имеет порядок 0{т + А2) при о = 1 и 0{т2 + Л2) при а = 0,5. На практике важно иметь равномерную, т.е. в норме
С(Я(Л)) = щах
я
, оценку для точности решения.
Если сложить разностные уравнения и раскрыть операторы Ai и Л2, то исходя из принципа максимума [18] получается, что схема ДОС не являет-
ся безусловно устойчивой в норме С, так как коэффициент при #,"+1/2 отрицательный, а коэффициент
-2
(1 - а)М
И 2(1 ~о)М х А2
А2
при Щ поло-
(1 - а)Мт . .
жительныи при условии --------^— <0,5.
\иг
Если о=1, то схема JIOC абсолютно устойчива. Однако расчеты
хМ
[21, 22] показывают, что при больших значениях параметра К = —=- реше-
\ih
ние задачи фильтрации в прямоугольной области со скважиной в центре и условиями 1-го и 2-го рода на сторонах прямоугольника дает значительную ошибку по сравнению с аналитическим решением (А > 75). В случае симметричной схемы (а = 0,5) численное решение при Я > 2 начинает осциллировать. Подробно результаты расчетов для указанной задачи методом JI0C изложены в работе [22].
