Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
В качестве иллюстрации полученного результата предположим, что необходимо оценить дисперсию гауссовского случайного процесса с нулевым математическим ожиданием путем пропускания его через устройство с квадратичной характеристикой и оценивания математического ожидания выходного процесса. Предположим, что необходимо также определить требуемое число усредняемых выборок, обеспечивающее среднее квадратическое отклонение оценки от истинного математического ожидания менее 10 %.
Пусть Y (t) — наблюдаемый случайный гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией cry. Результат возведения этого процесса в квадрат обозначим через X (t). Таким образом, имеем X (t) = Y2 (t). Из (2.27) следует
X = E\Y2]=aY, ~Х2= ?[Г4] =3ст4у.
Следовательно,
СТх = ¦= X* - (X)2 = 3(7у - СУ у - 2(7 у.
Отсюда ясно, что оценка X является также оценкой параметра cry. Кроме того, дисперсия оценки случайной величины X должна быть равной 0,01 (X)2 = 0,01 сгу с тем, чтобы удовлетворить требованию получения ошибки оценки менее 10 %. Из (5.13) получаем
D (X) = (1 IN) ах = (UN)2oy = 0,01ст4у.
Таким образом, для достижения необходимой точности требуется иметь N — 200 статистически независимых выборок.
Приведенный анализ не только иллюстрирует задачи, возникающие при оценке математического ожидания случайного процесса, но также показывает, как может быть оценена дисперсия процесса, имеющего нулевое математическое ожидание. Эти же процедуры могут быть, очевидно, обобщены на оценку дисперсии случайного процесса с ненулевым математическим ожиданием.
Когда математическое ожидание случайного процесса, дисперсия которого должна быть оценена, не известно, процедура оценки
дисперсии становится несколько более трудоемкой. На первый взгляд логично определить среднее значение величин Х‘\ и затем вычесть квадрат оцененного (в соответствии с (5.8)) математического ожидания. Однако получающаяся при этом оценка дисперсии является смещенной, т. е. математическое ожидание оценки дисперсии не равно истинной дисперсии. Этот результат обусловлен тем, что истинное математическое ожидание не известно. Однако имеется возможность исправить этот недостаток, определяя оценку дисперсии в виде
N ^
о2х = (1/(N- 1)) Е X? + (N/(N - 1)) (X)2. (5.14)
<=1
В качестве упражнения читателю предоставляется возможность доказать, что математическое ожидание этой оценки равно истинной дисперсии. Сравните этот результат с аналогичным результатом, иллюстрируемым соотношением (4.8).
Упражнение 5.6.1. Десять независимых измерений напряжения, представляющих собой выборки гауссовского случайного процесса, имеют следующие значения: 207, 202, 184, 204, 206, 198, 197, 213, 191, 201.
а) Оцените математическое ожидание этого процесса.
б) Определите дисперсию этой оценки математического ожидания.
в) Оцените дисперсию этого процесса.
Ответ: 4,9, 69,34, 200,3.
Упражнение 5.6.2. Покажите, что оценка дисперсии, определенная в соответствии с (5.14), является несмещенной, т.е. Е
ЗАДАЧИ
5.1.1. Реализация случайного процесса получается в результате пятикратного бросания игральной кости. На интервале \i — 1, г] значение реализации равно исходу г'-ro бросания игральной кости.
а) Изобразить получившуюся реализацию, если исходами пяти бросаний являются: 5, 2, 6, 4, 1.
б) Сколько различных реализаций содержит ансамбль данного случайного процесса?
в) Какова вероятность того, что будет наблюдаться реализация, определенная в п. а?
г) Какова вероятность того, что наблюдаемая реализация будет состоять только из цифры 3?
5.1.2. Датчик случайных чисел электронной вычислительной машины формирует трехзначные числа, равномерно распределенные в интервале [0,000; 0,999], с производительностью, равной одному случайному числу в секунду, начиная с момента t = 0. Реализация случайного процесса формируется путем суммирования десяти последних случайных чисел и присвоения этой сумме значения реализации на односекундном интервале. Реализации обозначаются как X (t) для t^0. Определить математическое ожидание случайной величины:
а) X (4,5); б) X (9,5); в) X (20,5).
5.2.1. Определить, к какому типу (непрерывный, дискретный, смешанный) относятся приведенные ниже случайные процессы.
а) Случайный процесс, для которого случайной величиной является число проезжающих автомобилей в минуту при определенной плотности движения-
б) Напряжение теплового шума, генерируемого резистором.
в) Случайный процесс, определенный в задаче 5.1.2.
г) Случайный процесс, формируемый в результате прохождения гауссовского случайного процесса через идеальный однополупериодный выпрямитель.
д) Случайный процесс, формируемый в результате прохождения гауссовского случайного процесса через идеальный двухполупериодный выпрямитель.
