Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Купер Дж. -> "Вероятностные методы анализа сигналов и систем" -> 73

Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.

Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем — М.:Мир, 1989. — 376 c.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostniemetodi1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 158 >> Следующая

Сначала рассмотрим задачу оценки математического ожидания X эргодического случайного процесса {х (/)} путем усреднения по времени на конечном интервале. Тогда для произвольного члена ансамбля реализаций будем полагать
т
JL=(\lT)\x(t)dt. (5.6)
о
Необходимо отметить, что, хотя X — некоторое число в каком-то эксперименте, эта величина также является случайной, так как
мы получили бы другое число, если бы использовался другой временной интервал или наблюдалась другая реализация. Таким
образом, X не будет тождественно равно истинному математическому ожиданию, но, чтобы измерения были практически полезными, величина X должна быть близкой к X. Вопрос о том, насколько они близки, рассмотрен ниже.
Так как X — случайная величина, она имеет математическое ожидание и дисперсию. Чтобы X было хорошей (точной) оценкой
X, математическое ожидание величины X должно быть равно X, а ее дисперсия должна быть малой. В соответствии с (5.6) математическое ожидание величины X равно
Е[Х]
т
т
0/Т) j X (t)dt - (1/Т) \E[X(t)\dt о J О
т
= (MT)\xdt={MT)
т
xt |
о
х. (5.7)
В данном случае допустима перестановка^операций усреднения и интегрирования, что является общепринятой процедурой. Условия, при которых справедлива эта процедура, более подробно
будут рассмотрены в гл. 8. Из (5.7) следует, что X имеет математическое ожидание, равное истинному (т. е. имеем несмещенную
оценку. — Ред.). Оценка дисперсии случайной величины X оказывается значительно более трудоемкой и требует знания автокорреляционных функций, что является предметом рассмотрения следующей главы. Однако дисперсия таких оценок анализируется для случая с дискретным временем. Здесь же достаточно заметить, что дисперсия пропорциональна параметру (1/Т). Таким образом, более точная оценка математического ожидания получается усреднением реализации на временном интервале большой длительности. При Т -> оо дисперсия стремится к нулю, а оценка становится равной истинному математическому ожиданию с вероятностью единица, как и должно быть для эргодического случайного процесса.
С практической точки зрения операция интегрирования в выражении (5.6) в редких случаях может быть выполнена аналитически, поскольку X (t) не может быть выражено в явном виде. Альтернативой является численное интегрирование выборок случайного процесса X (t), наблюдаемых через равноотстоящие промежутки времени. Таким образом, если Хх = X (АО, Х2 —
= X (2 At), Ал = X (N At), то оценка случайной величины X может быть представлена как
х = (1/Л0 ? xt. i=1
(5.8)
Это выражение — дискретный аналог соотношения (5.6).
Оценка X по-прежнему является случайной величиной и имеет математическое ожидание
?Й = ?|Г(1/Л0 ? Л',
L <=1
(1/ло ? ?[Х,] = (1/ло1! х = х.
1=1
i — 1
(5.9)
Следовательно, оценка и в этом случае имеет математическое ожидание, равное его истинному значению.
Для оценки дисперсии случайной величины X полагают, что наблюдаемые выборки следуют во времени на достаточно длительных интервалах и поэтому статистически независимы. На данном этапе это допущение принимается для удобства; более общий вывод может быть сделан после анализа материала, приведенного
в гл. 6. Средний квадрат X может быть представлен в виде Е [(X)2] = Е
(l/N2) S ? XtXj i=i /=i
(W S Е E[XtXj], (5.10) c=i /=i
где двойное суммирование обусловлено произведением двух сумм. Так как выборки полагались статистически независимыми, имеем
{Xs, i = /,
Е [XtXj] =г\ -
1(Х)2> i^j.
Таким образом, получим
Е ЦХ)2] - (1 /N2) [NX* + (N* - N) (X)2]. (5.11)
Этот результат является следствием того, что двойная сумма в (5.10) содержит в совокупности N2 членов, но только N из них соответствуют случаю i = /. Уравнение (5.11) может быть записано в виде
Е р)2] = (1//V)F + 11 - (1/.V)](X)2 - (1/ЛО а2* + (Xf.
Тогда дисперсия величины X может быть представлена как
D (Я) = Е [(X)2] - \Е (Х]\2 = (1/W) а% + (X)2 - (X)2 = (1 Ш)а\.
(5.13)
Этот результат свидетельствует о том, что дисперсия оценки математического ожидания в N раз меньше дисперсии случайного процесса. Таким образом, точность оценки может быть повышена усреднением большего числа выборок.
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed