Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Купер Дж. -> "Вероятностные методы анализа сигналов и систем" -> 72

Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.

Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем — М.:Мир, 1989. — 376 c.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostniemetodi1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 158 >> Следующая

При последующем рассмотрении реакции систем на случайные входные воздействия будет показано, что анализ этих процессов существенно упрощается, если справедливо допущение о стационарности воздействии в узком или широком смысле. Так как результаты идентичны для любого типа стационарности, не представляется необходимым делать различие между ними в дальнейшем изложении.
Упражнение 5.4.1. а) Для случайного процесса, определенного в упр. 5.3.2, найти математическое ожидание случайной величины X (tj4).
б) Определите математическое ожидание случайной величины X (3^/4),
в) Является ли процесс стационарным? Почему?
Ответы-, нет; 5; 0.
Упражнение 5.4.2. Случайный процесс имеет вид X (/) = A cos (w/+ 0),
где Л и со — постоянные, 0 — случайная величина.
а) Докажите, что этот процесс стационарен в широком смысле, если 0 равномерно распределено в интервале [0, 2я].
б) Докажите, что этот процесс не может быть стационарным, если 9 ие является равномерно распределенной на этом интервале.
5.5. Эргодические и неэргодические случайные процессы
Некоторые стационарные случайные процессы обладают свойством, заключающимся в том, что почти каждый член ’) ансамбля «ведет» себя в статистическом смысле так же, как и весь ансамбль. Таким образом, можно проанализировать статистическую динамику путем исследования только одной типовой реализации. Такие случайные процессы называются1 эргодическими.
Для эргодических случайных процессов математические ожидания и моменты могут быть^определены как усреднением по
1) Слова «почтч каждый член» означают, что рад реализаций, полная вероятность появления которых равна нулю, может не проявлять поведения, характерного для остальной части ансамбля. Но равенство нулю вероятности появления реализации не означает, что такая реализация невозможна.
времени, так и усреднением по ансамблю реализаций. В частности, п-й момент определяется как
оо Т
1C = j xnf (х) dx = lim (1/2Г) j Хп (t) dt. (5.4)
Лт Г-°° —T
Однако необходимо подчеркнуть, что условие эргодичности выполняется только для стационарного процесса. Таким образом,
эргодические случайные процессы являются также стационарными.
Случайный процесс, не удовлетворяющий свойству (5.4), является неэргодическим. Все нестационарные случайные процессы неэргодичны, однако неэргодическими могут быть и стационарные случайные процессы. Например, рассмотрим случайный процесс вида
X (t) = Y cos (со* + 0), (5.5)
где ю — постоянная, Y — случайная величина (относительно ансамбля), 0 — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 2л], причем 0 и / статистически независимы. Можно показать, что этот случайный процесс стационарен, но не эргодичен, так как Y — некоторая постоянная для определенной реализации, но имеет другие значения для остальных реализаций.
В общем случае трудно, если только вообще возможно, доказать, что эргодичность — обоснованное допущение для какого-либо физического процесса, так как может наблюдаться только одна реализация этого процесса. Тем не менее обычно имеет смысл предположить эргодичность процесса, если только отсутствуют веские доводы физического характера, препятствующие этому.
Упражнение 5.5.1. Случайный процесс имеет вид X (t) = А, где А — гауссовская случайная величина с нулевым математическим ожиданием н дисперсией, равной 4.
а) Является ли данный процесс стационарным в широком смысле?
б) Является ли данный процесс эргодическим? Почему?
Ответы: нет; да.
Упражнение 5.5.2. Случайный процесс имеет вид
X(t)= 2] Afit-nT-U),
где А и Т — постоянные, t0 — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [О, Т]\ функция / (/) определяется как
п. 0<«774
(, 0 для других /.
а) Определите X и Ха.
б) Определите (х) и (х2), где угловые скобки означают операцию временного усреднения.
в) Может ли данный процесс быть стационарным?
г) Может ли данный процесс быть эргодическим?
Ответы: Л/2, Л2/2, да, да.
5.6. Измерение параметров случайных процессов
Статистическими параметрами случайного процесса X (t) является ряд статистических параметров (таких, как математическое ожидание, средний квадрат, дисперсия), связанных со случайными величинами X (/), рассматриваемыми в различные моменты времени t. Для стационарного случайного процесса эти параметры одинаковы для всех таких случайных величин н, следовательно, целесообразно рассматривать только одну группу параметров.
Значительный практический интерес представляет задача оценки параметров случайного процесса по результатам наблюдения одной реализации (так как все, что имеется в наличии —¦ это одна реализация конечной длительности). Так как имеется только одна реализация, невозможно осуществить усреднение по ансамблю с цед*ю получения оценок параметров, поэтому единственной альтернативой является осуществление усреднения по времени. Для эргодического случайного процесса это обоснованный подход, так как временное усреднение (на интервале бесконечной длительности) эквивалентно усреднению по ансамблю, как это видно из (5.4). Разумеется, в большинстве практических ситуаций мы не можем доказать, что случайный процесс является эргодическим; обычно необходимо предположить, что он эргоди-чен, если только нет явных физических причин, исключающих справедливость такого допущения. Кроме того, не представляется возможным реализовать временное усреднение в пределах интервала бесконечной длительности, а усреднение на интервале конечной длительности приведет к приближенным результатам. Цель нижеследующего анализа — получение ответов на два вопроса: насколько точным является это приближение и от каких аспектов процедуры измерения зависит качество приближения? ^
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed