Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение 5.2.1. Гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,1 Ва, аддитивно смешивается со случайным двоичным сигналом, принимающим значения ±1 В.
а) Определите, какого типа суммарный случайный процесс: непрерывный, дискретный или смешанный.
Ответьте на тот же вопрос в случае, когда суммарный случайный процесс проходит
б) через ограничитель с порогами ограничения ±1,1 В.
в1 через идеальный предельный ограничитель с амплитудной характер!'* стикой вида Увнх = sgn (VBX).
Ответы, смешанный: непрерывный: дискретный.
Упражнение 5.2.2. Случайная функция времени имеет математическое ожидание, равное 10, и амплитуду с рэлеезгкии распределением. Эта функция умножается иа синусоиду, имеющую максимальное значение, равное 10, и случайную фазу, равномерно распределенную в интервале ГО, 2я1.
а) Определите, какой тип случайного процесса представляет собой это произведение: непрерывный, дискретный или смешанный.
б) Ответьте на тот же вопрос в случае прохождения произведения этих случайных процессов через идеальный однополупер йодный выпрямитель.
в) Какой тип случайного процесса представляет собой результат поохожде-ния синусоидального колебания через идеальный однополуперйодный выпрямитель с последующим его умножением на функцию времени с рэлеевским распределением?
Ответы: непрерывный; сметанный; смешанный.
5.3. Детерминированные и недетерминированные случайные процессы
В значительной части проводимого до сих пор анализа полагалось, что каждая реализация является случайной функцией времени и ее будущие значения не могут быть точно предсказаны на основе зарегистрированных ранее значений. Говорят, что такой случайный процесс является недетерминированным. Почти все существующие в природе случайные процессы относятся к недетерминированным, так как физический механизм, лежащий в основе их возникновения, либо ненаблюдаем, либо очень сложен.
Все процессы, представленные в разд 5.2, относятся к недетерминированным.
Однако имеется возможность определить случайные процессы, для которых будущие значения какой-либо реализации можно точно предсказать, зная прошлые значения. Такие случайные процессы называют детерминированными*). В качестве примера рассмотрим случайный процесс
X (t) = A cos (at + 0), (5.1)
где А и со — постоянные, 0 — случайная величина с определенным вероятностным распределением, т. е. для какой-то одной реализации величина 0 имеет одно и то же значение для всех t, но для других членов ансамбля — другие значения. В этом случае имеют место случайные изменения только по ансамблю реализаций, но не по времени. Как и ранее, можно определить случайные величины X (У, X (t.2) и т. д., а также соответствующие им плотности вероятностей.
В качестве второго примера детерминированного процесса рассмотрим периодический случайный процесс
ОО
-X (0 = S [ Ап cos (2nnf0t) + Вп sin (2nnf0t)], (5.2)
п=о
где Ап и Вп — независимые случайные величины, которые являются фиксированными для какой-либо одной реализации, но отличаются друг от друга от реализации к реализации. При известной временной предыстории реализации можно определить эти коэффициенты и точно предсказать будущие значения функции X (t).
Не является необходимым требование, чтобы детерминированные процессы были периодическими, хотя, вероятно, это наиболее типичная ситуация, возникающая в практических приложениях. Например, детерминированный случайный процесс может иметь реализацию вида
X (t) = А ехр (—Р0> t > 0, (5.3)
где А и р — случайные величины, фиксированные для какой-либо одной реализации, но изменяющиеся от реализации к реализации.
Хотя понятие детерминированного случайного процесса может показаться несколько искусственным, часто оказывается удобным получить вероятностную модель для сигналов, которые известны, за исключением одного или двух параметров. В частности, процесс, описываемый соотношением (5.1), целесообразно использовать для представления радиосигнала с известными амплитудой
*) В отечественной литературе в соотьетствии с ГОСТ 21878-76 «Случайные процессы и динамические системы» такие процессы называют квазидетерминированными — Прим. ред.
и частотой, но неизвестной фазой. Фаза радиосигнала может быть неизвестна, например, вследствие того, что не определено точное расстояние (до долей длины волны) между передатчиком и приемником.
Упражнение 5.3.1. Реализация х (t) случайного процесса X (/), определенного в соответствии с (5.1), наблюдается в три момента времени, для которых ее значения оказались равными: X (0) = 0; X (1) = 10; X (2) = 0. Между моментами t = 0 и t = 2 отсутствуют нулевые значения реализации.
а) Определите значения параметров А, ш и 0.
б) Определите значения X (2,5).
Ответы: 1,57; 10; —7,07; —1,57.
Упражнение 5.3.2. Случайный процесс задан в форме
ОО
